Determine a solução das equações abaixo em série de potências de x, em torno de x_{0}=0. Dê um intervalo onde a solução é válida. \left(3-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}-y=0.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
(3 - x^{2})\,y'' - 3x\,y' - y = 0
e pede solução em série de potências em torno de x_{0}=0. Vamos supor
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,x^{n}
e determinar uma relação de recorrência entre os coeficientes a_{n}.
Escrevendo y''=\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} e substituindo em (3 - x^{2})y'' - 3x y' - y=0, alinhamos todas as somas em potências x^{n}. Igualando o coeficiente de x^{n} a zero obtém-se