Determine a solução das equações abaixo em série de potências de x, em torno de x_{0}=0. Dê um intervalo onde a solução é válida.
\left(3-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}-y=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(3 - x^{2})\,y'' - 3x\,y' - y = 0
e pede solução em série de potências em torno de x_{0}=0. Vamos supor
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,x^{n}
e determinar uma relação de recorrência entre os coeficientes a_{n}.

Passo 2

Calculamos as derivadas em série:
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}\,x^{n-1} \quad,\quad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}\,x^{n-2}.
Escrevendo y''=\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} e substituindo em
(3 - x^{2})y'' - 3x y' - y=0, alinhamos todas as somas em potências x^{n}. Igualando o coeficiente de x^{n} a zero obtém-se
3\,(n+2)(n+1)\,a_{n+2} -\bigl[n(n-1)+3n+1\bigr]\,a_{n}=0.
Reconhecendo n(n-1)+3n+1=(n+1)^{2}, a recorrência fica
a_{n+2} =\frac{(n+1)^{2}}{3\,(n+2)(n+1)}\,a_{n} =\frac{n+1}{3\,(n+2)}\,a_{n}.

Passo 3

A relação a_{n+2}=\tfrac{n+1}{3(n+2)}\,a_{n} separa as séries par e ímpar:
para n=2k obtemos
a_{2k} =a_{0}\prod_{j=0}^{k-1}\frac{2j+1}{3(2j+2)} =\;a_{0}\,\frac{(2k)!}{12^{k}\,(k!)^{2}},
e para n=2k+1
a_{2k+1} =a_{1}\prod_{j=0}^{k-1}\frac{2j+2}{3(2j+3)} =\;a_{1}\,\frac{4^{\,k}\,(k!)^{2}}{3^{\,k}\,(2k+1)!}.

Passo 4

Assim surgem duas soluções independentes em série:
y_{1}(x) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(2k)!}{12^{k}\,(k!)^{2}}\,x^{2k},
y_{2}(x) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4^{\,k}(k!)^{2}}{3^{\,k}(2k+1)!}\,x^{2k+1}.
A solução geral é
y(x)=C_{1}\,y_{1}(x)+C_{2}\,y_{2}(x).

Passo 5

Para verificar o raio de convergência aplicamos o teste da razão a cada série. Em ambas as séries
\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{n+2}\,x^{n+2}}{a_{n}\,x^{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2}}{3}= \frac{|x|^{2}}{3}<1
implica |x|<\sqrt{3}. Portanto o intervalo de validade é |x|<\sqrt{3}.

Resposta

A solução geral em série é
y(x) =C_{1} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(2k)!}{12^{k}(k!)^{2}}\,x^{2k} \;+\; C_{2} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{4^{\,k}(k!)^{2}}{3^{\,k}(2k+1)!}\,x^{2k+1},
válida para |x|<\sqrt{3}.

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