Considere a função Gama definida pela seguinte integral imprópria:
\Gamma(p)=\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{p-1} d t, p>0
a) Prove que \Gamma(p+1)=p \Gamma(p).
b) Prove que \Gamma(n+1)=n!, n=1,2,3, \ldots
c) Dado p>0, prove que \mathcal{L}\left(t^{p}\right)(s)=\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}, para s>0.
d) Calcule \mathcal{L}\left(t^{1 / 2}\right)(s), sabendo que \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}.

Passo 1

O enunciado define a função Gama
\Gamma(p)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{p-1}\,dt,\quad p>0,
e pede quatro coisas:
a) mostrar a relação de recorrência \Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p), usando integração por partes;
b) deduzir que \Gamma(n+1)=n! para n\in\mathbb{N};
c) calcular a transformada de Laplace de t^p, isto é
\mathcal{L}\bigl(t^p\bigr)(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}t^p\,dt,
e relacioná-la com \Gamma(p+1);
d) aplicar o resultado em p=\tfrac12, sabendo que \Gamma\bigl(\tfrac12\bigr)=\sqrt{\pi}.

Passo 2

Para (a) usamos integração por partes em
\Gamma(p+1)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{(p+1)-1}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^p\,dt.
Escolhemos
u = t^p,\quad dv = e^{-t}\,dt \quad\Longrightarrow\quad du = p\,t^{p-1}\,dt,\quad v = -e^{-t}.
Então
\Gamma(p+1) =\Bigl.u\,v\Bigr|_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}v\,du =\underbrace{\Bigl[-t^p e^{-t}\Bigr]_{0}^{\infty}}_{=0} +\int_{0}^{\infty}e^{-t}\,p\,t^{p-1}\,dt =p\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{p-1}\,dt =p\,\Gamma(p).
O termo de fronteira vale zero porque t^p e^{-t}\to0 quando t\to\infty e é zero em t=0.

Passo 3

Para (b) note que para n=1
\Gamma(1)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{0}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-t}\,dt =1=0!.
Supondo \Gamma(n)= (n-1)!, então pela parte (a)
\Gamma(n+1)=n\,\Gamma(n)=n\,(n-1)!=n!.
Assim vale \Gamma(n+1)=n! para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 4

Para (c) usamos definição de transformada de Laplace:
\mathcal{L}\bigl(t^p\bigr)(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}t^p\,dt.
Fazemos a mudança de variável u=st, então t=u/s e dt=du/s. Assim
\int_{0}^{\infty}e^{-st}t^p\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-u}\Bigl(\frac{u}{s}\Bigr)^p\frac{du}{s} =\frac{1}{s^{p+1}}\int_{0}^{\infty}e^{-u}u^p\,du =\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}.

Passo 5

Para (d) basta usar p=\tfrac{1}{2} na fórmula da parte (c). Obtemos
\mathcal{L}\bigl(t^{1/2}\bigr)(s) =\frac{\Gamma\left(\tfrac{1}{2}+1\right)}{s^{\tfrac{1}{2}+1}} =\frac{\Gamma\left(\tfrac{3}{2}\right)}{s^{3/2}} \quad\text{e como}\quad \Gamma\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\,\Gamma\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) =\tfrac{1}{2}\,\sqrt{\pi},
segue
\mathcal{L}\bigl(t^{1/2}\bigr)(s) =\frac{\tfrac{1}{2}\,\sqrt{\pi}}{s^{3/2}}.

Resposta

a) \Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p).
b) \Gamma(n+1)=n! para n=1,2,3,\dots.
c) \displaystyle \mathcal{L}\bigl(t^p\bigr)(s)=\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}.
d) \displaystyle \mathcal{L}\bigl(t^{1/2}\bigr)(s)=\frac{\sqrt{\pi}/2}{s^{3/2}}.

Exercícios relacionados