Considere a função Gama definida pela seguinte integral imprópria:
\Gamma(p)=\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{p-1} d t, p>0
a) Prove que \Gamma(p+1)=p \Gamma(p).
b) Prove que \Gamma(n+1)=n!, n=1,2,3, \ldots
c) Dado p>0, prove que \mathcal{L}\left(t^{p}\right)(s)=\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}, para s>0.
d) Calcule \mathcal{L}\left(t^{1 / 2}\right)(s), sabendo que \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}.
e pede quatro coisas:
a) mostrar a relação de recorrência \Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p), usando integração por partes;
b) deduzir que \Gamma(n+1)=n! para n\in\mathbb{N};
c) calcular a transformada de Laplace de t^p, isto é
a) \Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p).
b) \Gamma(n+1)=n! para n=1,2,3,\dots.
c) \displaystyle \mathcal{L}\bigl(t^p\bigr)(s)=\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}.
d) \displaystyle \mathcal{L}\bigl(t^{1/2}\bigr)(s)=\frac{\sqrt{\pi}/2}{s^{3/2}}.