- (2,0 ptos) Verifique se a igualdade abaixo é verdadeira:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a seguinte igualdade é verdadeira:
Informações dadas e observações imediatas:
- A função escalonada está presente:
(função unit step deslocada). - Os termos trigonométricos aparecem como
. - Há fatores
multiplicando ambas as parcelas no tempo. - O lado direito usa a variável de Laplace
. - Não há indicação explícita sobre
e , mas é natural assumir (para evitar divisão por zero) e (para o sentido usual do escalonamento). A verificação deve mostrar se a igualdade vale para essas condições.
Passo 2
Lembra do que é a transformada de Laplace: para uma função
(definida em
),
onde
é a variável complexa da transformada (normalmente assumimos
suficientemente grande para garantir convergência). Vou usar essa definição quando precisar, mas também vou aplicar fórmulas padrões que já conhecemos.
Passo 3
Apresento a propriedade do deslocamento no tempo (segunda propriedade de deslocamento), muito útil aqui:
Se
é uma função com transformada
, então
para
. Intuição rápida: o fator
“liga” a função somente a partir de
; a transformada resulta em um fator exponencial
multiplicando a transformada da função não deslocada.
Passo 4
Reescrevendo a primeira parcela do tempo de forma a evidenciar o deslocamento:
Aqui é claro que podemos aplicar a propriedade do deslocamento com a função
Então
onde
Passo 5
Agora vamos calcular
. Uso linearidade da transformada:
As transformadas conhecidas são:
Logo
Vamos simplificar essa diferença com cuidado:
Dividindo por
dá
Portanto
Passo 6
Agora calculo a transformada da segunda parcela temporal, que é simplesmente
Mas essa já é
do passo anterior, cuja transformada encontramos:
. Assim
Passo 7
Somando as duas transformadas (por linearidade da transformada de Laplace) obtemos:
que é exatamente o lado direito dado no enunciado.
Passo 8
Conclusão e condição: a verificação mostrou que as duas expressões coincidem, desde que se possa dividir por
(ou seja,
) e assumindo o uso habitual do escalonamento com
. Se
a expressão original precisa ser reavaliada (pois há divisão por zero), então a igualdade como escrita exige
.
Resposta
Verdadeira (para
e
).