1. (2,0 ptos) Verifique se a igualdade abaixo é verdadeira:
\mathcal{L}\left\{\frac{u(t-b)}{a^{2}}(1-\cos (a t-a b))+\frac{1}{a^{2}}(1-\cos (a t))\right\}=\frac{e^{-b S}}{S\left(S^{2}+a^{2}\right)}+\frac{1}{S\left(S^{2}+a^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a seguinte igualdade é verdadeira:
\mathcal{L}\left\{\frac{u(t-b)}{a^{2}}\bigl(1-\cos (a t-a b)\bigr)+\frac{1}{a^{2}}\bigl(1-\cos (a t)\bigr)\right\}=\frac{e^{-b S}}{S\left(S^{2}+a^{2}\right)}+\frac{1}{S\left(S^{2}+a^{2}\right)}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função escalonada está presente: u(t-b) (função unit step deslocada).
  • Os termos trigonométricos aparecem como \cos(a t-a b)=\cos\bigl(a(t-b)\bigr).
  • Há fatores \tfrac{1}{a^{2}} multiplicando ambas as parcelas no tempo.
  • O lado direito usa a variável de Laplace S.
  • Não há indicação explícita sobre a e b, mas é natural assumir a\neq 0 (para evitar divisão por zero) e b\ge 0 (para o sentido usual do escalonamento). A verificação deve mostrar se a igualdade vale para essas condições.

Passo 2

Lembra do que é a transformada de Laplace: para uma função f(t) (definida em t\ge 0),
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-S t}f(t)\,dt,
onde S é a variável complexa da transformada (normalmente assumimos \operatorname{Re}(S) suficientemente grande para garantir convergência). Vou usar essa definição quando precisar, mas também vou aplicar fórmulas padrões que já conhecemos.

Passo 3

Apresento a propriedade do deslocamento no tempo (segunda propriedade de deslocamento), muito útil aqui:
Se g(t) é uma função com transformada G(S)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então
\mathcal{L}\{u(t-b)\,g(t-b)\}=e^{-bS}G(S),
para b\ge 0. Intuição rápida: o fator u(t-b) “liga” a função somente a partir de t=b; a transformada resulta em um fator exponencial e^{-bS} multiplicando a transformada da função não deslocada.

Passo 4

Reescrevendo a primeira parcela do tempo de forma a evidenciar o deslocamento:
\frac{u(t-b)}{a^{2}}\bigl(1-\cos (a t-a b)\bigr)=u(t-b)\cdot\frac{1}{a^{2}}\bigl(1-\cos\bigl(a(t-b)\bigr)\bigr).
Aqui é claro que podemos aplicar a propriedade do deslocamento com a função
g(t)=\frac{1}{a^{2}}\bigl(1-\cos(a t)\bigr).
Então
\mathcal{L}\Big\{u(t-b)\cdot\frac{1}{a^{2}}\bigl(1-\cos(a(t-b))\bigr)\Big\}=e^{-bS}\,G(S),
onde G(S)=\mathcal{L}\{g(t)\}=\mathcal{L}\Big\{\dfrac{1}{a^{2}}\bigl(1-\cos(a t)\bigr)\Big\}.

Passo 5

Agora vamos calcular G(S)=\mathcal{L}\Big\{\dfrac{1}{a^{2}}\bigl(1-\cos(a t)\bigr)\Big\}. Uso linearidade da transformada:
G(S)=\frac{1}{a^{2}}\Big(\mathcal{L}\{1\}-\mathcal{L}\{\cos(a t)\}\Big).
As transformadas conhecidas são:
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{S}, \qquad \mathcal{L}\{\cos(a t)\}=\frac{S}{S^{2}+a^{2}}.
Logo
G(S)=\frac{1}{a^{2}}\left(\frac{1}{S}-\frac{S}{S^{2}+a^{2}}\right).
Vamos simplificar essa diferença com cuidado:
\frac{1}{S}-\frac{S}{S^{2}+a^{2}}=\frac{S^{2}+a^{2}-S^{2}}{S(S^{2}+a^{2})}=\frac{a^{2}}{S(S^{2}+a^{2})}.
Dividindo por a^{2}
G(S)=\frac{1}{S(S^{2}+a^{2})}.
Portanto
\mathcal{L}\left\{\frac{u(t-b)}{a^{2}}\bigl(1-\cos(a(t-b))\bigr)\right\}=e^{-bS}\cdot\frac{1}{S(S^{2}+a^{2})}.

Passo 6

Agora calculo a transformada da segunda parcela temporal, que é simplesmente
\frac{1}{a^{2}}\bigl(1-\cos(a t)\bigr).
Mas essa já é g(t) do passo anterior, cuja transformada encontramos: G(S)=\dfrac{1}{S(S^{2}+a^{2})}. Assim
\mathcal{L}\left\{\frac{1}{a^{2}}\bigl(1-\cos(a t)\bigr)\right\}=\frac{1}{S(S^{2}+a^{2})}.

Passo 7

Somando as duas transformadas (por linearidade da transformada de Laplace) obtemos:
\mathcal{L}\Big\{\frac{u(t-b)}{a^{2}}\bigl(1-\cos(a t-a b)\bigr)+\frac{1}{a^{2}}\bigl(1-\cos(a t)\bigr)\Big\} = \frac{e^{-bS}}{S(S^{2}+a^{2})}+\frac{1}{S(S^{2}+a^{2})},
que é exatamente o lado direito dado no enunciado.

Passo 8

Conclusão e condição: a verificação mostrou que as duas expressões coincidem, desde que se possa dividir por a^{2} (ou seja, a\neq 0) e assumindo o uso habitual do escalonamento com b\ge 0. Se a=0 a expressão original precisa ser reavaliada (pois há divisão por zero), então a igualdade como escrita exige a\neq 0.

Resposta

Verdadeira (para a\neq 0 e b\ge 0).

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