Uma escada de 5 m de comprimento está apoiada numa parede vertical e sua ponta superior escorrega na parede a uma velocidade de raiz32 m / s. Determine a velocidade com que a ponta inferior se afasta da parede no momento em que o ângulo formado pela parede e a parte superior da escada for igual a pi6 rad.
[Dados: cos (pi / 6)=raiz32 ; sen(pi / 6)=1 / 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de movimento relacionado a uma escada encostada na parede. A gente vai usar um pouco de trigonometria e cálculo para descobrir a velocidade com que a base da escada está se afastando da parede. Precisamos entender como as posições da escada mudam ao longo do tempo e como isso se relaciona com os ângulos e as velocidades envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde a escada é a hipotenusa, a parede é um dos catetos e o chão é o outro cateto. Vamos chamar a distância da base da escada até a parede de $ x $ e a altura da escada na parede de $ y $. Sabemos que a escada tem comprimento fixo, então podemos usar o teorema de Pitágoras:
x

Passo 3

Queremos relacionar as taxas de variação de $ x $ e $ y $ em relação ao tempo. Para isso, vamos derivar a equação acima em relação ao tempo $ t $:
x
Isso simplifica para:
y

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar $ \frac{dx}{dt} $, a velocidade com que a base da escada está se movendo. A equação fica então:
dxdt
Sabemos que $ \frac{dy}{dt} = -\frac{\sqrt{3}}{2} , m/s $ (negativo porque a escada está descendo).

Passo 5

Precisamos encontrar os valores de $ x $ e $ y $ quando o ângulo entre a escada e a parede é $ \frac{\pi}{6} $ radianos. Usando trigonometria:
x
y

Passo 6

Agora, substituímos $ x = \frac{5\sqrt{3}}{2} $, $ y = \frac{5}{2} $ e $ \frac{dy}{dt} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ na equação para $ \frac{dx}{dt} $:
x = 5raiz32

Passo 7

Simplificando os cálculos:
dxdt = -52 cdot 25raiz3 cdot (-raiz32) = 52 cdot 25raiz3 cdot raiz32 = 12 , m/s

Resposta

A ponta inferior da escada está se afastando da parede a uma velocidade de 12 , m/s no momento em que o ângulo formado é pi6 radianos.

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