Uma escada de
de comprimento está apoiada numa parede vertical e sua ponta superior escorrega na parede a uma velocidade de
. Determine a velocidade com que a ponta inferior se afasta da parede no momento em que o ângulo formado pela parede e a parte superior da escada for igual a
.
[Dados:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de movimento relacionado a uma escada encostada na parede. A gente vai usar um pouco de trigonometria e cálculo para descobrir a velocidade com que a base da escada está se afastando da parede. Precisamos entender como as posições da escada mudam ao longo do tempo e como isso se relaciona com os ângulos e as velocidades envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde a escada é a hipotenusa, a parede é um dos catetos e o chão é o outro cateto. Vamos chamar a distância da base da escada até a parede de $ x $ e a altura da escada na parede de $ y $. Sabemos que a escada tem comprimento fixo, então podemos usar o teorema de Pitágoras:
Passo 3
Queremos relacionar as taxas de variação de $ x $ e $ y $ em relação ao tempo. Para isso, vamos derivar a equação acima em relação ao tempo $ t $:
Isso simplifica para:
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar $ \frac{dx}{dt} $, a velocidade com que a base da escada está se movendo. A equação fica então:
Sabemos que $ \frac{dy}{dt} = -\frac{\sqrt{3}}{2} , m/s $ (negativo porque a escada está descendo).
Passo 5
Precisamos encontrar os valores de $ x $ e $ y $ quando o ângulo entre a escada e a parede é $ \frac{\pi}{6} $ radianos. Usando trigonometria:
Passo 6
Agora, substituímos $ x = \frac{5\sqrt{3}}{2} $, $ y = \frac{5}{2} $ e $ \frac{dy}{dt} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ na equação para $ \frac{dx}{dt} $:
Passo 7
Simplificando os cálculos:
Resposta
A ponta inferior da escada está se afastando da parede a uma velocidade de
no momento em que o ângulo formado é
radianos.