-Questão Extra (A questão vale 2 pontos)
6. Seja F(x, y)=(x y^2+3 x^2 y, x^3+y x^2). Mostre que existe uma funçâo f tal que nabla f=F. Encontre tal função f. Calcule integralC F cdot d s, onde C é a curva consistindo dos segmentos de reta (1,1),(0,2) à (3,0).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial F(x,y)=(P,Q) com P=x y^2+3x^2y e Q=x^3+y x^2, e pede para mostrar que existe f tal que nabla f=F, encontrá-la e, em seguida, calcular integralC Fcdot ds em um caminho de (1,1) a (0,2) e depois a (3,0). Vamos usar a teoria de campos conservativos e o Teorema Fundamental do Cálculo para linhas.

Passo 2

Verificamos se F é conservativo comparando as derivadas mistas. Calculamos
partial Ppartial y=partialpartial y(x y^2+3x^2y)=2xy+3x^2
e
partial Qpartial x=partialpartial x(x^3+yx^2)=3x^2+2xy
Como são iguais em todo R^2, o campo é conservativo e existe uma função potencial f(x,y).

Passo 3

Para achar f, integramos P em relação a x e adicionamos uma função g(y):
f(x,y)=integral(x y^2+3x^2y),dx=tfrac12x^2y^2+x^3y+g(y)
Em seguida impomos
partial fpartial y=x^2y+x^3+g'(y)=Q=x^3+x^2y,
logo g'(y)=0 e podemos tomar g(y)=constante. Assim, uma escolha conveniente é
$$
f(x,y)=\tfrac12x2y2+x^3y.
$$

Passo 4

Como o campo é conservativo, a integral de linha independe do caminho e vale
integralC Fcdot ds=f(3,0)-f(1,1)
Calculamos
$$
f(3,0)=\tfrac12\cdot9\cdot0^2+27\cdot0=0,$$
$$
f(1,1)=\tfrac12\cdot12\cdot12+1^3\cdot1=\tfrac12+1=\tfrac32.$$
Fazendo a diferença, obtemos o valor da integral de linha.

Resposta

-tfrac32

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