-Questão Extra (A questão vale 2 pontos)
6. Seja
. Mostre que existe uma funçâo
tal que
. Encontre tal função
. Calcule
, onde
é a curva consistindo dos segmentos de reta
à
.
6. Seja
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
com
e
, e pede para mostrar que existe
tal que
, encontrá-la e, em seguida, calcular
em um caminho de
a
e depois a
. Vamos usar a teoria de campos conservativos e o Teorema Fundamental do Cálculo para linhas.
Passo 2
Verificamos se
é conservativo comparando as derivadas mistas. Calculamos
e
Como são iguais em todo
, o campo é conservativo e existe uma função potencial
.
Passo 3
Para achar
, integramos
em relação a
e adicionamos uma função
:
Em seguida impomos
logo
$$
f(x,y)=\tfrac12x2y2+x^3y.
$$
Passo 4
Como o campo é conservativo, a integral de linha independe do caminho e vale
Calculamos
$$
f(3,0)=\tfrac12\cdot9\cdot0^2+27\cdot0=0,$$
$$
f(1,1)=\tfrac12\cdot12\cdot12+1^3\cdot1=\tfrac12+1=\tfrac32.$$
Fazendo a diferença, obtemos o valor da integral de linha.
Fazendo a diferença, obtemos o valor da integral de linha.