Determine a solução das equações seguintes considerando
:
Passo 1
O enunciado pede: determinar as soluções da equação quadrática considerando
:
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
- Coeficiente
. - Coeficiente
. - Termo constante
.
O objetivo é encontrar todos os valores complexosque satisfazem essa equação.
Passo 2
Vou usar a fórmula resolvente (fórmula de Bhaskara) para quadráticas, porque é um método direto e padronizado. Antes de aplicar, uma pequena aula sobre ela:
Para qualquer equação da forma
onde
,
,
são constantes e
, as soluções são dadas por
Explicando cada termo:
-
é o coeficiente de . -
é o coeficiente de . -
é o termo constante. -
é o discriminante; o sinal dele determina a natureza das raízes: - se
, raízes reais e distintas; - se
, raízes reais e iguais; - se
, raízes complexas conjugadas (aparecem com ).
Breve origem: a fórmula vem de completar quadrado em; não preciso repetir toda a derivação agora porque já está estabelecida, mas é bom saber que vem de manipular até obter algo.
- se
Passo 3
Calcular o discriminante
:
Substituindo
,
,
:
Como
, esperamos duas soluções complexas conjugadas (com parte real igual e partes imaginárias opostas).
Passo 4
Calcular
. Como
,
Aqui
é a unidade imaginária, com
.
Passo 5
Aplicar a fórmula quadrática:
Calcular o denominador
e simplificar dividindo o numerador por
:
Portanto as duas raízes (obtidas pelo sinal
e pelo sinal
) são
e
.
Passo 6
Verificação rápida usando completar o quadrado (outra forma didática): dividir a equação original por
dá
Completa-se o quadrado:
, então
Tirando raiz quadrada (em
):
confirmando as soluções encontradas anteriormente. Força aí — é normal ficar com medo dessas raízes complexas no começo, mas o procedimento é sempre o mesmo.