Determine a solução das equações seguintes considerando x \in C:
2 x^{2}+4 x+6=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar as soluções da equação quadrática considerando x \in \mathbb{C}:
2x^{2}+4x+6=0.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
  • Coeficiente a=2.
  • Coeficiente b=4.
  • Termo constante c=6.
    O objetivo é encontrar todos os valores complexos x que satisfazem essa equação.

Passo 2

Vou usar a fórmula resolvente (fórmula de Bhaskara) para quadráticas, porque é um método direto e padronizado. Antes de aplicar, uma pequena aula sobre ela:
Para qualquer equação da forma
ax^{2}+bx+c=0,
onde a, b, c são constantes e a\neq 0, as soluções são dadas por
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Explicando cada termo:
  • a é o coeficiente de x^{2}.
  • b é o coeficiente de x.
  • c é o termo constante.
  • b^{2}-4ac é o discriminante; o sinal dele determina a natureza das raízes:
    • se b^{2}-4ac>0, raízes reais e distintas;
    • se b^{2}-4ac=0, raízes reais e iguais;
    • se b^{2}-4ac<0, raízes complexas conjugadas (aparecem com i=\sqrt{-1}).
      Breve origem: a fórmula vem de completar quadrado em ax^{2}+bx+c=0; não preciso repetir toda a derivação agora porque já está estabelecida, mas é bom saber que vem de manipular até obter (x+\tfrac{b}{2a})^{2}= algo.

Passo 3

Calcular o discriminante \Delta:
\Delta = b^{2}-4ac.
Substituindo a=2, b=4, c=6:
\Delta = 4^{2}-4\cdot 2\cdot 6 = 16 - 48 = -32.
Como \Delta<0, esperamos duas soluções complexas conjugadas (com parte real igual e partes imaginárias opostas).

Passo 4

Calcular \sqrt{\Delta}. Como \Delta=-32,
\sqrt{\Delta}=\sqrt{-32}=\sqrt{32}\,i=\sqrt{16\cdot 2}\,i=4\sqrt{2}\,i.
Aqui i é a unidade imaginária, com i^{2}=-1.

Passo 5

Aplicar a fórmula quadrática:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4\pm 4\sqrt{2}\,i}{2\cdot 2}.
Calcular o denominador 2a=4 e simplificar dividindo o numerador por 4:
x=\frac{-4}{4}\pm\frac{4\sqrt{2}\,i}{4}=-1\pm \sqrt{2}\,i.
Portanto as duas raízes (obtidas pelo sinal + e pelo sinal -) são -1+\sqrt{2}\,i e -1-\sqrt{2}\,i.

Passo 6

Verificação rápida usando completar o quadrado (outra forma didática): dividir a equação original por 2
x^{2}+2x+3=0.
Completa-se o quadrado: x^{2}+2x+1 = (x+1)^{2}, então
(x+1)^{2}+2=0 \quad\Rightarrow\quad (x+1)^{2}=-2.
Tirando raiz quadrada (em \mathbb{C}):
x+1=\pm i\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad x=-1\pm i\sqrt{2},
confirmando as soluções encontradas anteriormente. Força aí — é normal ficar com medo dessas raízes complexas no começo, mas o procedimento é sempre o mesmo.

Resposta

-1 + i\sqrt{2}
-1 - i\sqrt{2}

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