Determine a solução geral de cada uma das EDO’s Lineares não-homogêneas de 2^ a ordem
y^prime prime-y^prime-2 y=8 x+2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem não homogênea cuja forma é
y'' - y' - 2y = 8x + 2
Para resolver, vamos (1) achar a solução geral da equação homogênea associada, (2) encontrar uma solução particular para o termo não homogêneo via método dos coeficientes a determinar, e (3) somar as duas partes.

Passo 2

Resolver a equação homogênea
y'' - y' - 2y = 0
A equação característica é
r^2 - r - 2 = 0
Suas raízes são
r = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32,
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r1 = 2, r2 = -1
Assim, a solução homogênea é
yh = C1 e^2x + C2 e^-x

Passo 3

Propor uma solução particular para o termo não homogêneo 8x + 2. Como é um polinômio de grau 1, tomamos
yp = A x + B
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yp' = A, yp'' = 0

Passo 4

Substituir em
y'' - y' - 2y = 8x + 2:
0 - A - 2(Ax + B) = 8x + 2,
isto é
-2A x + (-A - 2B) = 8x + 2
Comparando coeficientes de x:
-2A = 8 implies A = -4
Comparando termos constantes:
-A - 2B = 2 implies 4 - 2B = 2 implies B = 1
Portanto,
yp = -4x + 1

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma de yh com yp:
y = C1 e^2x + C2 e^-x - 4x + 1

Resposta

y = C1 e^2x + C2 e^-x - 4x + 1

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