Resolva o PVI
cy^prime prime+y=sec x y(0)=2 ; y^prime(0)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''+y=sec x, y(0)=2, y'(0)=-2
O conteúdo aqui é equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Vamos usar primeiro a solução geral da homogênea e depois encontrar uma solução particular por variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y''+y=0
As raízes do polinômio característico r^2+1=0 são r=pm i, de modo que a solução geral da homogênea é
yh(x)=C1cos x + C2sin x

Passo 3

Para achar uma solução particular yp usamos variação de parâmetros com y1=cos x e y2=sin x. O Wronskiano é
W=y1y2'-y1'y2=cos^2x+sin^2x=1
Calculamos
I1=integral y2cdotsec x,dx=integral sin xsec x,dx=integraltan x,dx=-lnl|cos xr|,
I2=integral(-y1)cdotsec x,dx=-integral cos xsec x,dx=-integral 1,dx=-x
Então, pela fórmula
yp=-y1,I1 + y2,I2 =,-cos xl(-ln|cos x|r)+sin x,( -x) =cos xln|cos x|-xsin x
Como vamos avaliar em x perto de zero, cos x>0 e podemos escrever ln(cos x).

Passo 4

A solução geral da não homogênea é
y(x)=yh(x)+yp(x) =C1cos x + C2sin x + cos xln(cos x)-xsin x
Aplicamos a condição inicial y(0)=2:
y(0)=C1cdot1 + C2cdot0 +ln(cos0)cdot1 -0 = C1 + 0 =2 Longrightarrow C1=2

Passo 5

Agora calculamos y'(x). De
y(x)=2cos x + C2sin x + cos xln(cos x) - xsin x
temos
y'(x)=-2sin x + C2cos x +ddxl[cos xln(cos x)r] -l(sin x + xcos xr)
Como
ddx[cos xln(cos x)] =-sin xln(cos x)+cos xcdot-sin xcos x =-sin xln(cos x)-sin x,
segue
y'(x)=-2sin x + C2cos x -sin xln(cos x)-sin x -sin x - xcos x
=-2sin x + C2cos x -sin xln(cos x) - xcos x
(eis que dois sin x se cancelam).
Em x=0 isso dá
y'(0)=C2cdot1 = -2 Longrightarrow C2=-2

Resposta

boxedy(x)=2cos x -2sin x +cos xln(cos x) - xsin x

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