Use o método discutido em “Equações homogêneas” para resolver os problemas
(x^2+y^2) d x+2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(x^2 + y^2),dx + 2x y,dy = 0
usando o método de equações homogêneas. Aqui
M(x,y)=x^2+y^2 e N(x,y)=2xy são funções homogêneas de grau 2.
Vamos então usar a substituição y=vx de modo a obter uma equação separável em v e x.

Passo 2

Dividindo por dx e isolando tfracdydx, vem
dydx=-x^2+y^22xy
Com y=vx temos
tfracdydx=v + xtfracdvdx,
y^2=v^2x^2 e xy=vx^2. Substituindo:
v + xdvdx = -x^2 + v^2x^22x^2v = -1+v^22v

Passo 3

Isolando dv/dx:
xdvdx = -1+v^22v - v = -1+3v^22v,
portanto
dvdx = -1+3v^22v,1x
É uma equação separável em v e x.

Passo 4

Separamos as variáveis:
2v1+3v^2,dv = -dxx
Agora integramos:
integral 2v1+3v^2,dv = integral -dxx
No lado esquerdo fazemos u=1+3v^2, du=6v,dv, então
integral 2v1+3v^2,dv = 13integral duu = 13lnl|ur| = 13lnl(1+3v^2r)
No lado direito
integral -dxx = -lnl|xr|
Logo,
13lnl(1+3v^2r) = -lnl|xr| + C1

Passo 5

Multiplicando por 3 e exponenciando:
lnl(1+3v^2r) = -3lnl|xr| + C2
1 + 3v^2 = C,x^-3,
onde C=e^C2. Voltando a v=y/x:
1 + 3y^2x^2 = C,x^-3,
x^2 + 3y^2 = C,x^-1,
x^3 + 3x,y^2 = C

Resposta

A solução geral, implícita, é
x^3 + 3x,y^2 = C,
com C constante arbitrária.

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