Use o método discutido em “Equações homogêneas” para resolver os problemas
(x y+y^2) d x-x^2 d y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem
(x y + y^2),dx - x^2,dy = 0.
Esse tipo de equação é homogênea porque as funções
M(x,y)=xy+y^2 e N(x,y)=-x^2 são ambas de grau 2.
Para resolver, vamos usar a substituição típica de equações homogêneas:
y = u,x, logo dy = u,dx + x,du

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação na forma
dydx ;=;M(x,y)N(x,y) ;=;xy+y^2x^2 ;=;yx+y^2x^2
Como y/x=u, temos
dydx = u + u^2

Passo 3

Por outro lado, da substituição y=u,x obtemos
dydx = u + x,dudx
Igualando as duas expressões de dy/dx:
u + x,dudx ;=; u + u^2 Longrightarrow x,dudx = u^2

Passo 4

Separamos variáveis:
duu^2 = dxx
Agora integramos ambos os lados:
integral u^-2,du = integral dxx Longrightarrow -,1u = lnl|xr| + C

Passo 5

Voltando à variável original u=y/x, temos
-,1y/x = lnl|xr| + C Longrightarrow -,xy = lnl|xr| + C
Reagrupando a constante geral, obtemos a solução implícita
lnl|xr| + xy = C1

Resposta

lnl|xr| + xy = C

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