Uma onda eletromagnética plana se propaga no vácuo com campo elétrico dado por:
\mathbf{E}=(100 \mathrm{~V} / \mathrm{m}) \cdot \cos \left[\left(1.5 \times 10^{7} \mathrm{rad} / \mathrm{m}\right) \mathrm{x} \quad-\right. \left.\left(4.5 \times 10^{15} \mathrm{rad} / \mathrm{s}\right) \mathrm{t}\right] \hat{\mathbf{y}}
a) Determine o vetor de campo magnético associado \quad\left(\right. Resp: \quad \mathbf{B}=\quad\left(3.33 \times 10^{-7}\right. T) \left.\cdot \cos \left[\left(1.5 \times 10^{7}\right) \mathrm{x} \quad-\quad\left(4.5 \times 10^{15}\right) \mathrm{t}\right] \hat{\mathbf{z}}\right)
b) Calcule o módulo do vetor de Poynting médio (Resp: 13.26 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} )

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico de uma onda plana no vácuo:
\mathbf{E}=(100\\ \mathrm{V/m})\cdot\cos\!\left[\left(1{,}5\times10^{7}\\ \mathrm{rad/m}\right)x-\left(4{,}5\times10^{15}\\ \mathrm{rad/s}\right)t\right]\hat{\mathbf{y}}.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
E_{0}=100\\ \mathrm{V/m},
k=1{,}5\times10^{7}\\ \mathrm{rad/m},
\omega=4{,}5\times10^{15}\\ \mathrm{rad/s},
o campo elétrico aponta na direção \hat{\mathbf{y}} e a fase é \varphi=kx-\omega t, logo a onda se propaga ao longo do eixo x (sentido positivo).
O que o problema pede:
a) determinar o vetor do campo magnético associado \mathbf{B}(x,t);
b) calcular o módulo do vetor de Poynting médio (valor médio temporal de |\mathbf{S}|).

Passo 2

Verifico a velocidade de propagação a partir de \omega e k. A velocidade de fase é
c=\frac{\omega}{k}.
Substituindo os valores dados:
c=\frac{4{,}5\times10^{15}}{1{,}5\times10^{7}}=3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
ou seja, c coincide com a velocidade da luz no vácuo, o que confirma que estamos tratando de uma onda eletromagnética viajando no vácuo.

Passo 3

Relação de direções entre \mathbf{E}, \mathbf{B} e o vetor de propagação \mathbf{k}: para uma onda plana no vácuo temos \mathbf{E}, \mathbf{B} e \mathbf{k} mutuamente perpendiculares e obedecendo a regra da mão direita, de modo que
\hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{E}}\times\hat{\mathbf{B}}.
Aqui \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{x}} e \hat{\mathbf{E}}=\hat{\mathbf{y}}. Para que \hat{\mathbf{y}}\times\hat{\mathbf{B}}=\hat{\mathbf{x}} é necessário \hat{\mathbf{B}}=\hat{\mathbf{z}}. Portanto o campo magnético tem a mesma fase e é paralelo a \hat{\mathbf{z}}:
\mathbf{B}(x,t)=B_{0}\cos\!\left[kx-\omega t\right]\hat{\mathbf{z}}.

Passo 4

Relação entre amplitudes E_{0} e B_{0} no vácuo: a partir das equações de Maxwell para ondas planas obtém-se a relação
E_{0}=c\,B_{0},
ou seja
B_{0}=\frac{E_{0}}{c}.
Explico por que essa relação é válida de forma simples: a equação de onda para campos eletromagnéticos e as equações de Maxwell implicam que as magnitudes dos campos elétrico e magnético são proporcionais pela velocidade da luz no vácuo; assim para cada instante a razão E/B é c. Agora calculo numericamente:
B_{0}=\frac{100\\ \mathrm{V/m}}{3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}=3{,}333\ldots\times10^{-7}\\ \mathrm{T}\approx3{,}33\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

Passo 5

Escrevo então o campo magnético completo com a amplitude encontrada e a mesma fase da onda elétrica:
\mathbf{B}(x,t)=\left(3{,}33\times10^{-7}\\ \mathrm{T}\right)\cdot\cos\!\left[\left(1{,}5\times10^{7}\right)x-\left(4{,}5\times10^{15}\right)t\right]\hat{\mathbf{z}}.

Passo 6

Passo agora ao vetor de Poynting. A definição instantânea do vetor de Poynting é
\mathbf{S}(x,t)=\frac{1}{\mu_{0}}\mathbf{E}(x,t)\times\mathbf{B}(x,t),
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo, \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N/A^{2}}. A unidade de \mathbf{S} é \mathrm{W/m^{2}} (fluxo de energia por área).

Passo 7

Calculo \mathbf{S}(x,t) para os campos dados. Os vetores \mathbf{E} e \mathbf{B} são:
\mathbf{E}=E_{0}\cos\varphi\,\hat{\mathbf{y}},\qquad \mathbf{B}=B_{0}\cos\varphi\,\hat{\mathbf{z}},\qquad \varphi=kx-\omega t.
O produto vetorial dá
\mathbf{E}\times\mathbf{B}=E_{0}B_{0}\cos^{2}\!\varphi\;(\hat{\mathbf{y}}\times\hat{\mathbf{z}})=E_{0}B_{0}\cos^{2}\!\varphi\;\hat{\mathbf{x}}.
Logo
\mathbf{S}(x,t)=\frac{E_{0}B_{0}}{\mu_{0}}\cos^{2}\!\varphi\;\hat{\mathbf{x}}.

Passo 8

Queremos o valor médio temporal do módulo de \mathbf{S}. Para uma função senoidal a média temporal de \cos^{2}\!\varphi é 1/2. Assim o valor médio (módulo) é
\langle S\rangle=\frac{E_{0}B_{0}}{2\mu_{0}}.
Substituo B_{0}=E_{0}/c para escrever em termos de E_{0}:
\langle S\rangle=\frac{E_{0}^{2}}{2\mu_{0}c}.
Outra forma útil é usar a impedância do espaço livre Z_{0}=\mu_{0}c\approx 376{,}99\\ \Omega, obtendo
\langle S\rangle=\frac{E_{0}^{2}}{2Z_{0}}.
Faço a conta com E_{0}=100\\ \mathrm{V/m} e Z_{0}\approx376{,}99\\ \Omega:
\langle S\rangle=\frac{100^{2}}{2\times376{,}99}=\frac{10000}{753{,}98}\approx13{,}26\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{B}(x,t)=\left(3{,}33\times10^{-7}\\ \mathrm{T}\right)\cdot\cos\!\left[\left(1{,}5\times10^{7}\right)x-\left(4{,}5\times10^{15}\right)t\right]\hat{\mathbf{z}}
\displaystyle \langle S\rangle=13{,}26\\ \mathrm{W/m^{2}}

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