Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
b) (1-x^2) y^prime-y=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a equação diferencial (1 - x^2) y^prime - y = 0. Isso envolve o conteúdo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem, especificamente as Equações Lineares. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar y^prime isolado. A equação dada é:
(1 - x^2) dydx - y = 0
Adicionando y em ambos os lados:
(1 - x^2) dydx = y
Agora, dividindo ambos os lados por (1 - x^2):
dydx = y1 - x^2

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y e x. Isso significa colocar todos os termos envolvendo y de um lado e os termos envolvendo x do outro:
dyy = dx1 - x^2

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é:
integral 1y dy = ln|y| + C1
E a integral do lado direito envolve uma fração que pode ser resolvida por frações parciais. Sabemos que:
11 - x^2 = 12(11 - x + 11 + x)
Então, a integral fica:
integral 11 - x^2 dx = 12 ln|1 + x1 - x| + C2

Passo 5

Igualando as integrais e combinando as constantes ( C = C2 - C1):
ln|y| = 12 ln|1 + x1 - x| + C

Passo 6

Para resolver para y, vamos levantar ambos os lados como potências de e:
y = e^12 ln|1 + x1 - x| + C = e^C cdot |1 + x1 - x|^12
Como e^C é apenas uma constante, podemos chamar de K. Então:
y = K raiz1 + x1 - x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = K raiz1 + x1 - x

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