Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
b) ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a equação diferencial . Isso envolve o conteúdo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem, especificamente as Equações Lineares. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar isolado. A equação dada é:
Adicionando em ambos os lados:
Agora, dividindo ambos os lados por :
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis e . Isso significa colocar todos os termos envolvendo de um lado e os termos envolvendo do outro:
Passo 4
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito envolve uma fração que pode ser resolvida por frações parciais. Sabemos que:
Então, a integral fica:
Passo 5
Igualando as integrais e combinando as constantes (C = C2 - C1):
ln|y| = 12 ln|1 + x1 - x| + C
Passo 6
Para resolver para y, vamos levantar ambos os lados como potências de e:
y = e^12 ln|1 + x1 - x| + C = e^C cdot |1 + x1 - x|^12
Como e^C é apenas uma constante, podemos chamar de K. Então: