Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
c) (sen x) y^prime+(cos x) y=0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que parece um pouco complicada à primeira vista. O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de primeira ordem linear. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica bacana para esse tipo de equação. Então, vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é:
y' + P(x) y = Q(x)
No seu caso, a equação é:
(sin x) y' + (cos x) y = 0
Para deixá-la na forma padrão, vamos dividir todos os termos por sin x, assim:
y' + ( cos xsin x ) y = 0
Agora, temos:
y' + P(x) y = Q(x)
onde:
P(x) = cos xsin x e Q(x) = 0

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que a gente multiplica em toda a equação para simplificá-la e facilitar a resolução. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular isso:
mu(x) = e^integral cos xsin x dx

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral no expoente:
integral cos xsin x dx
Essa integral é conhecida e resulta em:
ln |sin x| + C
Mas como estamos buscando o fator integrante, podemos ignorar a constante C, então temos:
mu(x) = e^ln |sin x| = |sin x|
Como sin x já está dentro do valor absoluto, podemos simplificar para:
mu(x) = sin x

Passo 5

Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação original por mu(x) = sin x:
sin x cdot y' + sin x cdot ( cos xsin x ) y = 0 cdot sin x
Simplificando:
sin x cdot y' + cos x cdot y = 0
Perceba que voltamos à forma original, mas isso confirma que nosso fator integrante está correto para tornar a equação exata.

Passo 6

Agora, a equação pode ser reescrita como a derivada do produto de mu(x) e y:
ddx [mu(x) y] = mu(x) Q(x)
Substituindo os valores:
ddx [sin x cdot y] = 0

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral ddx [sin x cdot y] dx = integral 0 , dx
Isso resulta em:
sin x cdot y = C
onde C é a constante de integração. Agora, resolvemos para y:
y = Csin x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = Csin x
onde C é uma constante arbitrária.

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