Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
c)
;
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que parece um pouco complicada à primeira vista. O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de primeira ordem linear. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica bacana para esse tipo de equação. Então, vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é:
No seu caso, a equação é:
Para deixá-la na forma padrão, vamos dividir todos os termos por
, assim:
Agora, temos:
onde:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que a gente multiplica em toda a equação para simplificá-la e facilitar a resolução. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular isso:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral no expoente:
Essa integral é conhecida e resulta em:
Mas como estamos buscando o fator integrante, podemos ignorar a constante
, então temos:
Como
já está dentro do valor absoluto, podemos simplificar para:
Passo 5
Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação original por
:
Simplificando:
Perceba que voltamos à forma original, mas isso confirma que nosso fator integrante está correto para tornar a equação exata.
Passo 6
Agora, a equação pode ser reescrita como a derivada do produto de
e
:
Substituindo os valores:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração. Agora, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.