Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
h) Considere a
, onde
e
são constantes,
. Determine a solução que satisfaz a condição inicial
.
h) Considere a
Passo 1
A gente tem uma EDO de primeira ordem do tipo
, com
e condição inicial
. Isso cai no conteúdo de EDOs lineares de primeira ordem com coeficientes constantes e vamos usar o método do fator integrante para resolver.
Passo 2
Primeiro, dividimos tudo por
pra deixar na forma padrão
. Ficamos com
Aqui
e
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
. Multiplicando a equação padrão por
a gente obtém
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. Usamos a fórmula
Com
e puxando
pra fora, temos
Dividindo por
e limpando frações, a solução geral é
Passo 5
Por fim, aplicamos
. Em
temos
portanto
Substituindo de volta, a solução que satisfaz a condição inicial é
Resposta
y(t)=\frac{E R}{R2+L2\omega^2}\bigl(\cos(\omega t)-e^{-(R/L)t}\bigr)+\frac{E L\omega}{R2+L2\omega^2}\sin(\omega t)