Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
h) Considere a EDO L y^prime+R y=E cos omega t, onde L, R, E e omega são constantes, L neq 0. Determine a solução que satisfaz a condição inicial y(0)=0.

Passo 1

A gente tem uma EDO de primeira ordem do tipo L,y'+R,y=Ecos(omega t), com Lneq0 e condição inicial y(0)=0. Isso cai no conteúdo de EDOs lineares de primeira ordem com coeficientes constantes e vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, dividimos tudo por L pra deixar na forma padrão y'+P,y=Q(t). Ficamos com
y'+RL,y=ELcos(omega t)
Aqui P=R/L e Q(t)=tfracELcos(omega t).

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t)=e^integral P,dt=e^(R/L)t. Multiplicando a equação padrão por mu(t) a gente obtém
ddtl(e^(R/L)tyr)=e^(R/L)tcdotELcos(omega t)

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. Usamos a fórmula
integral e^a tcos(omega t),dt=e^a ta^2+omega^2l(acos(omega t)+omegasin(omega t)r)
Com a=R/L e puxando E/L pra fora, temos
e^(R/L)ty=ELe^(R/L)t(R/L)^2+omega^2l(tfracRLcos(omega t)+omegasin(omega t)r)+C
Dividindo por e^(R/L)t e limpando frações, a solução geral é
y(t)=E Rcos(omega t)+E Lomegasin(omega t)R^2+L^2omega^2+C,e^-(R/L)t

Passo 5

Por fim, aplicamos y(0)=0. Em t=0 temos
0=y(0)=E RR^2+L^2omega^2+C
portanto
C=-E RR^2+L^2omega^2
Substituindo de volta, a solução que satisfaz a condição inicial é
y(t)=E RR^2+L^2omega^2l(cos(omega t)-e^-(R/L)tr)+E LomegaR^2+L^2omega^2sin(omega t)

Resposta

y(t)=\frac{E R}{R2+L2\omega^2}\bigl(\cos(\omega t)-e^{-(R/L)t}\bigr)+\frac{E L\omega}{R2+L2\omega^2}\sin(\omega t)

Exercícios relacionados