Calcule a solução de cada problema de valor inicial abaixo:
a) x y^prime-(sen x) y=0, x>0, y(1)=-1;

Passo 1

No enunciado temos a equação
x,y' - sin x,y = 0, x>0, y(1)=-1
O conteúdo aqui é equação diferencial linear de primeira ordem homogênea; vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Reescrevendo na forma padrão y' + P(x),y = 0, dividindo tudo por x:
y' - sin xx,y = 0
Logo P(x) = -sin xx.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(-integral sin xx,dxr)
Multiplicando a equação por mu(x) e usando que tfracddx(mu y) = mu y' + mu' y, obtemos
ddxl(mu(x),y(x)r) = 0
Integrando ambos os lados:
mu(x),y(x) = C Longrightarrow y(x) = Cmu(x) = C expl(integral sin xx,dxr)
Para simplificar, podemos escrever
y(x) = C expl(integral1^x sin tt,dtr),
pois mudar a constante de integração vai ser absorvido em C.

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(1)=-1, temos
integral1^1 sin tt,dt = 0 Longrightarrow y(1)=C,e^0 = C = -1
Logo a constante C=-1 e a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x) = -expl(integral1^x sin tt,dtr)

Resposta

y(x) = -expl(integral1^x sin tt,dtr)

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