Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
f) L d Id t+R I=E, onde L, R e E são constantes; g)(3 x^2+1) y^prime-2 x y=6 x.

Passo 1

A questão pede para encontrar a solução geral de duas equações diferenciais de primeira ordem: f) L dIdt + R I = E, com L, R, E constantes, e g) (3x^2+1)y' - 2xy = 6x. Vamos usar métodos de ODE lineares: para f) coeficientes constantes; para g) fator integrante.

Passo 2

Vamos resolver a parte f). Primeiro, dividimos tudo por L para deixar no formato padrão:
dIdt + RLI = EL

Passo 3

É uma equação linear com coeficiente constante. A solução geral é a soma da solução homogênea e de uma solução particular. A homogênea satisfaz
dIhdt + RLIh = 0cuja solução é
Ih(t) = C1 e^-RLt

Passo 4

Como o termo independente E/L é constante, buscamos particular constante Ip. Substituindo em
dIpdt=0,vem
RLIp = EL implies Ip = ER

Passo 5

Logo a solução geral para f) é
I(t) = C1 e^-RLt + ER

Passo 6

Agora a parte g). Começamos colocando no formato padrão de equação linear:
y' - 2x3x^2+1y = 6x3x^2+1

Passo 7

O fator integrante é
mu(x) = e^-integral 2x3x^2+1,dx = e^-13ln(3x^2+1) = (3x^2+1)^-1/3

Passo 8

Multiplicamos a equação original por mu(x), obtendo
ddxl[(3x^2+1)^-1/3yr] = 6x,(3x^2+1)^-4/3

Passo 9

Integramos ambos os lados. No lado direito, use u=3x^2+1, du=6x,dx:
integral 6x,(3x^2+1)^-4/3dx = integral u^-4/3,du = -3u^-1/3 + C2 = -3(3x^2+1)^-1/3 + C2

Passo 10

Logo
(3x^2+1)^-1/3y = -3(3x^2+1)^-1/3 + C2

Passo 11

Multiplicando por (3x^2+1)^1/3, fica
y(x) = C2(3x^2+1)^1/3 - 3

Resposta

f) I(t) = C1 e^-RLt + ER
g) y(x) = C2,(3x^2+1)^1/3 - 3

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