Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial pra resolver:
Esse tipo de problema faz parte da matéria de Equações Diferenciais. Para resolver, vamos precisar identificar que tipo de equação é essa e aplicar os métodos apropriados. Vamos juntos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de equação diferencial estamos lidando. A equação dada é de primeira ordem e pode ser escrita na forma:
Onde:
- $ M(x, y) = x + y + 1 $
- $ N(x, y) = 2x + 2y + 1 $
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação é exata se satisfaz a condição:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de
ou de
. Vamos supor que o fator seja uma função de
, isto é,
.
O fator integrante
deve satisfazer:
Substituindo os valores que já temos:
Mas aqui vemos que ainda temos
na expressão, o que complica. Então, vamos tentar assumir que o fator depende de
e
. No entanto, para simplificar, vamos tentar um fator integrante que depende apenas de
.
Passo 5
Outra abordagem é verificar se o quociente
depende apenas de
ou de
. Vamos calcular:
Essa expressão não depende apenas de
nem apenas de
, o que indica que encontrar um fator integrante simples pode ser complicado. Então, vamos tentar uma outra estratégia.
Passo 6
Vamos reescrever a equação diferencial de forma a isolar
:
Isolando
:
Agora, vamos simplificar a expressão. Podemos dividir numerador e denominador por 1:
Passo 7
Observando a expressão, percebemos que o numerador e o denominador têm termos semelhantes. Vamos tentar simplificar a fração dividindo todos os termos por
:
Mas isso não simplifica de forma útil. Então, vamos tentar outra abordagem: substituir
.
Passo 8
Vamos fazer a substituição
. Então, sua derivada em relação a
é:
Vamos substituir
na equação:
Agora, substituindo
:
Passo 9
Vamos isolar
:
Agora, temos a equação:
Passo 10
Essa é uma equação diferencial separável. Vamos separá-la:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 11
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 12
Lembrando que fizemos a substituição
, vamos substituir de volta:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Podemos reescrever a constante
como apenas uma nova constante, mas geralmente deixamos assim para representar a solução geral.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.