Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
(x+y+1) d x+(2 x+2 y+1) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial pra resolver:
(x + y + 1) dx + (2x + 2y + 1) dy = 0
Esse tipo de problema faz parte da matéria de Equações Diferenciais. Para resolver, vamos precisar identificar que tipo de equação é essa e aplicar os métodos apropriados. Vamos juntos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de equação diferencial estamos lidando. A equação dada é de primeira ordem e pode ser escrita na forma:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
Onde:
  • $ M(x, y) = x + y + 1 $
  • $ N(x, y) = 2x + 2y + 1 $

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação é exata se satisfaz a condição:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular cada derivada parcial:
  • partial Mpartial y = partialpartial y(x + y + 1) = 1
  • partial Npartial x = partialpartial x(2x + 2y + 1) = 2
Como 1 neq 2, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de x ou de y. Vamos supor que o fator seja uma função de x, isto é, mu(x).
O fator integrante mu(x) deve satisfazer:
dmudx = mu cdot ( partial Npartial x - partial Mpartial yM )
Substituindo os valores que já temos:
dmudx = mu cdot ( 2 - 1x + y + 1 )
Mas aqui vemos que ainda temos y na expressão, o que complica. Então, vamos tentar assumir que o fator depende de x e y. No entanto, para simplificar, vamos tentar um fator integrante que depende apenas de x.

Passo 5

Outra abordagem é verificar se o quociente partial Mpartial y - partial Npartial xN depende apenas de x ou de y. Vamos calcular:
1 - 22x + 2y + 1 = -12x + 2y + 1
Essa expressão não depende apenas de x nem apenas de y, o que indica que encontrar um fator integrante simples pode ser complicado. Então, vamos tentar uma outra estratégia.

Passo 6

Vamos reescrever a equação diferencial de forma a isolar dydx:
(x + y + 1) + (2x + 2y + 1) dydx = 0
Isolando dydx:
dydx = -x + y + 12x + 2y + 1
Agora, vamos simplificar a expressão. Podemos dividir numerador e denominador por 1:
dydx = -x + y + 12x + 2y + 1

Passo 7

Observando a expressão, percebemos que o numerador e o denominador têm termos semelhantes. Vamos tentar simplificar a fração dividindo todos os termos por x:
dydx = -1 + yx + 1x2 + 2yx + 1x
Mas isso não simplifica de forma útil. Então, vamos tentar outra abordagem: substituir u = y + x.

Passo 8

Vamos fazer a substituição u = y + x. Então, sua derivada em relação a x é:
dudx = dydx + 1
Vamos substituir u na equação:
dydx = -u + 12u + 1
Agora, substituindo dudx - 1 = -u + 12u + 1:
dudx - 1 = -u + 12u + 1

Passo 9

Vamos isolar dudx:
dudx = 1 - u + 12u + 1 = (2u + 1) - (u + 1)2u + 1 = u2u + 1
Agora, temos a equação:
dudx = u2u + 1

Passo 10

Essa é uma equação diferencial separável. Vamos separá-la:
(2u + 1) du = u dx
Dividindo ambos os lados por u:
(2 + 1u) du = dx

Passo 11

Agora, vamos integrar ambos os lados:
integral (2 + 1u) du = integral dx
Integrando:
2u + ln|u| = x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 12

Lembrando que fizemos a substituição u = y + x, vamos substituir de volta:
2(y + x) + ln|y + x| = x + C
Simplificando:
2y + 2x + ln|y + x| = x + C
Subtraindo x de ambos os lados:
2y + ln|y + x| = C - x
Podemos reescrever a constante C - x como apenas uma nova constante, mas geralmente deixamos assim para representar a solução geral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
2y + ln|y + x| = C - x
Onde C é uma constante arbitrária.

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