Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
(y+e^y-e^-x) d x+(1+e^y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você mandou:
(y + e^y - e^-x) dx + (1 + e^y) dy = 0
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem. Nosso objetivo é identificar que tipo de equação é essa e, caso tenham condições iniciais, encontrar uma solução particular. Vamos precisar usar o conceito de equações exatas e, se necessário, encontrar um fator integrante para tornar a equação exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $, ou seja:
M
No nosso caso, temos:
y
N
Calculando as derivadas:
x
partial Mpartial y = partial Npartial x
Como $ 1 + e^{y} \neq 0 $, a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Um método comum é procurar um fator que depende apenas de $ x $ ou de $ y $.
Vamos calcular:
x
Esse resultado é uma função constante, o que sugere que o fator integrante $ \mu(x) $ depende apenas de $ x $. A fórmula para o fator integrante nesse caso é:
y
onde $ P(x) = 1 $. Então:
partial Mpartial y - partial Npartial xN = 1 + e^y - 01 + e^y = 1

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ e^{x} $ para tornar a equação exata:
e^x
Simplificando:
e^x (y + e^y - e^-x) dx + e^x (1 + e^y) dy = 0

Passo 5

Agora que a equação é exata, sabemos que existe uma função $ \Phi(x, y) $ tal que:
Phi(x, y)
partial Phipartial x = e^x y + e^x e^y - 1
Vamos integrar $ \frac{\partial \Phi}{\partial x} $ em relação a $ x $:
partial Phipartial y = e^x + e^x e^y
Aqui, $ h(y) $ é uma função de $ y $ que aparece na integração.

Passo 6

Agora, derivamos $ \Phi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ \frac{\partial \Phi}{\partial y} $:
Phi(x, y)
Comparando os dois lados:
y
Isso implica que $ h’(y) = 0 $, ou seja, $ h(y) $ é uma constante. Podemos chamar essa constante de $ C $.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Phi(x, y) = y e^x + e^x e^y - x = C
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados