Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você mandou:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem. Nosso objetivo é identificar que tipo de equação é essa e, caso tenham condições iniciais, encontrar uma solução particular. Vamos precisar usar o conceito de equações exatas e, se necessário, encontrar um fator integrante para tornar a equação exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma:
é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $, ou seja:
No nosso caso, temos:
Calculando as derivadas:
Como $ 1 + e^{y} \neq 0 $, a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Um método comum é procurar um fator que depende apenas de $ x $ ou de $ y $.
Vamos calcular:
Esse resultado é uma função constante, o que sugere que o fator integrante $ \mu(x) $ depende apenas de $ x $. A fórmula para o fator integrante nesse caso é:
onde $ P(x) = 1 $. Então:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ e^{x} $ para tornar a equação exata:
Simplificando:
Passo 5
Agora que a equação é exata, sabemos que existe uma função $ \Phi(x, y) $ tal que:
Vamos integrar $ \frac{\partial \Phi}{\partial x} $ em relação a $ x $:
Aqui, $ h(y) $ é uma função de $ y $ que aparece na integração.
Passo 6
Agora, derivamos $ \Phi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ \frac{\partial \Phi}{\partial y} $:
Comparando os dois lados:
Isso implica que $ h’(y) = 0 $, ou seja, $ h(y) $ é uma constante. Podemos chamar essa constante de $ C $.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.