Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
y^prime prime+6 y^prime+9 y=e^-3 t-27 t^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear com coeficientes constantes
y'' + 6y' + 9y = e^-3t - 27t^2
O conteúdo necessário é encontrar primeiro a solução geral da homogênea associada usando a equação característica, e depois uma solução particular para cada termo do segundo membro por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Escrevemos a homogênea
y'' + 6y' + 9y = 0
e montamos a equação característica
r^2 + 6r + 9 = 0 ;Longrightarrow;(r+3)^2=0,
cuja raiz é r=-3 de multiplicidade dupla. Portanto a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^-3t + C2,t,e^-3t

Passo 3

Procuramos uma solução particular para o termo polinomial -27t^2. Como é um polinômio de grau 2, fazemos o palpite
yp2 = a t^2 + b t + c
Calculamos
yp2' = 2a t + b, yp2'' = 2a
e substituímos em y''+6y'+9y:
2a +6(2a t + b)+9(a t^2 + b t + c) =9a,t^2+(12a+9b),t+(2a+6b+9c)
Igualando a -27t^2 obtemos o sistema
9a=-27, 12a+9b=0, 2a+6b+9c=0
que dá a=-3, b=4, c=-2. Logo
yp2 = -3t^2+4t-2

Passo 4

Para o termo e^-3t, como -3 é raiz dupla da característica, multiplicamos o palpite usual por t^2:
yp1 = A,t^2 e^-3t
Calculando yp1',yp1'' e substituindo em y''+6y'+9y verifica-se que
y''+6y'+9y = 2A,e^-3t
Para igualar a e^-3t precisamos de 2A=1, ou seja A=tfrac12. Assim
yp1 = tfrac12,t^2 e^-3t

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma
y = yh + yp1 + yp2 = C1 e^-3t + C2,t,e^-3t + tfrac12,t^2 e^-3t -3t^2+4t-2

Resposta

y(t) = l(C1 + C2,t + tfrac12,t^2 r)e^-3t ;-;3t^2+4t-2

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