Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear com coeficientes constantes
O conteúdo necessário é encontrar primeiro a solução geral da homogênea associada usando a equação característica, e depois uma solução particular para cada termo do segundo membro por coeficientes indeterminados.
Passo 2
Escrevemos a homogênea
e montamos a equação característica
cuja raiz é
de multiplicidade dupla. Portanto a solução geral da homogênea é
Passo 3
Procuramos uma solução particular para o termo polinomial
. Como é um polinômio de grau 2, fazemos o palpite
Calculamos
e substituímos em
:
Igualando a
obtemos o sistema
que dá
,
,
. Logo
Passo 4
Para o termo
, como
é raiz dupla da característica, multiplicamos o palpite usual por
:
Calculando
e substituindo em
verifica-se que
Para igualar a
precisamos de
, ou seja
. Assim
Passo 5
A solução geral da equação completa é a soma