Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
y^prime prime-2 y^prime-8 y=52 cos (6 t)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' - 8y = 52 cos(6t)
O conteúdo envolvido é:
  1. Resolver a equação homogênea associada pelo método do polinômio característico.
  2. Encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados, já que o termo forçante é cos(6t).

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - 2y' - 8y = 0
Escrevendo o polinômio característico
r^2 - 2r - 8 = 0
temos as raízes
r = 2 pm raiz4 + 322 = 2 pm 62 ;Longrightarrow; r1 = 4, r2 = -2
Logo, a solução geral da homogênea é
yh(t) = C1 e^4t + C2 e^-2t

Passo 3

Para a particular, como o forçamento é
Calculamos as derivadas:
Substituindo em :
Para igualar a , obtemos o sistema
Da segunda equação (12A = 44B\Rightarrow A = \tfrac{11}{3}B]. Substituindo na primeira:
Portanto

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^4t + C2 e^-2t - 110l(11cos(6t) + 3sin(6t)r)

Resposta

y(t) = C1 e^4t + C2 e^-2t - 110l(11cos(6t) + 3sin(6t)r)

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