Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo envolvido é:
- Resolver a equação homogênea associada pelo método do polinômio característico.
- Encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados, já que o termo forçante é
.
Passo 2
A parte homogênea é
Escrevendo o polinômio característico
temos as raízes
Logo, a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a particular, como o forçamento é
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
:
Para igualar a
, obtemos o sistema
Da segunda equação (12A = 44B\Rightarrow A = \tfrac{11}{3}B]. Substituindo na primeira:
Portanto
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular: