Se I(t) representa a corrente elêtrica em um circuito, a Lei de Kirchhoff permite estabelecer que:
L d^2 Id t^2+R d Id t+1C I=E^prime(t)
onde L é a indutância, R é a resistência, C é a capacitância e E(t) é uma fonte de voltagem (força eletromotiva). Considere um circuito com R=40 Omega, L=1 H e C=0.02 F e uma fonte de voltagem constante E(t)=6 volts. Suponha que I(0)=0 e que I^prime(0)=1. Determine a corrente no circuito em qualquer instante t >= 0 e estime o valor máximo da corrente e em que instante é atingida.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Kirchhoff
L,d^2Idt^2+R,dIdt+1C,I=E'(t)
com L=1, R=40, C=0.02, e E(t)=6 constante, logo E'(t)=0.
Precisamos resolver a EDO linear homogênea de segunda ordem
d^2Idt^2+40,dIdt+50,I=0
sujeita a I(0)=0 e I'(0)=1, e depois encontrar o instante t em que I(t) atinge máximo e seu valor.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à EDO homogênea:
r^2+40r+50=0

Passo 3

Calculamos as raízes
r1,2=-40pmraiz40^2-4cdot502 =-40pmraiz1600-2002 =-20pmraiz350 =-20pm5raiz14

Passo 4

A solução geral é
I(t)=A,e^r1t+B,e^r2t,
com r1=-20+5raiz14 e r2=-20-5raiz14.
Aplicando I(0)=0 A+B=0, logo B=-A.
Derivando e impondo I'(0)=1:
I'(t)=A,r1e^r1t+B,r2e^r2t implies A(r1-r2)=1 implies A=1r1-r2=12raiz350=110raiz14

Passo 5

Substituindo A e B=-A na solução geral, obtemos
I(t) =110raiz14l(e^(-20+5raiz14)t-e^(-20-5raiz14)tr)

Passo 6

Para achar o máximo da corrente, colocamos I'(t)=0:
r1e^r1t=r2e^r2t ;Longrightarrow; (r1-r2),t=-lnr1r2 ;Longrightarrow; tmax =-1r1-r2lnr1r2 =110raiz14ln-20-5raiz14-20+5raiz14
Numericamente
tmaxapprox0,0909 s

Passo 7

O valor máximo da corrente é
Imax=Il(tmaxr) approx0,02295 A

Resposta

I(t) =110raiz14l(e^(-20+5raiz14)t-e^(-20-5raiz14)tr), tmax =110raiz14ln-20-5raiz14-20+5raiz14approx0,0909 s, Imaxapprox0,02295 A

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