Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
e) 3 x y^prime-y=ln x+1 ;

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem
3x,y'-y=ln x+1
Esse tipo de equação é linear e a gente vai usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, colocamos em forma padrão dividindo tudo por 3x (considerando x>0):
y'-13x,y=ln x+13x
Aqui identificamos P(x)=-tfrac13x e Q(x)=tfracln x+13x.

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^-13integral1xdx=e^-13ln x=x^-13

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x^-1/3, o que transforma o lado esquerdo na derivada do produto:
ddxl(x^-1/3yr)=ln x+13x,x^-1/3=ln x+13x^4/3

Passo 5

Agora integramos ambos os lados:
integral dl(x^-1/3yr)=integral ln x+13x^4/3,dx
Fazendo integração por partes em integral (ln x+1)x^-4/3dx, com
u=ln x+1, dv=x^-4/3dx, achamos
integral ln x+13x^4/3dx=-x^-1/3(ln x+4)+C

Passo 6

Logo temos
x^-1/3y=-x^-1/3(ln x+4)+C,
e isolando y multiplicando por x^1/3 chega-se a:

Passo 7

A solução geral da equação é

Resposta

y=C,x^1/3-ln x-4

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