Resolva a equação abaixo.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos a seguinte equação diferencial:
Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar $ x $ em função de $ y $. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de equações diferenciais, especificamente a Equação de Bernoulli, que é útil para resolver equações diferenciais que têm termos não lineares como $ x^3 $.
Passo 2
Vamos começar reorganizando a equação para deixá-la na forma padrão da Equação de Bernoulli. Primeiro, isolamos o termo que envolve a derivada $ \frac{dx}{dy} $:
Agora, dividimos todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 3
Observamos que a equação está na forma:
Onde:
- $ P(y) = -\frac{1}{2y} $
- $ Q(y) = \frac{1}{2} \cos y $
- $ n = 3 $
Essa é a forma da Equação de Bernoulli, que pode ser resolvida por uma substituição adequada.
Passo 4
Para resolver uma Equação de Bernoulli, fazemos a substituição:
Agora, precisamos encontrar $ \frac{dv}{dy} $. Derivando $ v $ em relação a $ y $:
Passo 5
Substituímos $ \frac{dx}{dy} $ da equação original na expressão de $ \frac{dv}{dy} $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos uma equação linear em $ v $:
Para resolver essa equação linear, usamos o Fator Integrante. Calculamos o fator integrante $ \mu(y) $:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante $ y $:
Isso simplifica a equação para:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a $ y $:
Para resolver a integral $ \int y \cos y , dy $, usamos a técnica de Integração por Partes, onde:
- $ u = y $ => $ du = dy $
- $ dv = \cos y , dy $ => $ v = \sin y $
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = u v - \int v , du $:
Passo 9
Substituindo de volta na equação:
Onde $ C $ é a constante de integração. Agora, isolamos $ v $:
Passo 10
Lembrando que fizemos a substituição $ v = x^{-2} $, substituímos de volta para encontrar $ x $:
Invertendo ambos os lados para resolver para $ x $:
E, finalmente, tiramos a raiz quadrada:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante de integração.