Resolva a equação abaixo.
2 d xd y-xy+x^3 cos y=0

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos a seguinte equação diferencial:
2 dxdy - xy + x^3 cos y = 0
Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar $ x $ em função de $ y $. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de equações diferenciais, especificamente a Equação de Bernoulli, que é útil para resolver equações diferenciais que têm termos não lineares como $ x^3 $.

Passo 2

Vamos começar reorganizando a equação para deixá-la na forma padrão da Equação de Bernoulli. Primeiro, isolamos o termo que envolve a derivada $ \frac{dx}{dy} $:
dxdy
Agora, dividimos todos os termos por 2 para simplificar:
2 dxdy = xy - x^3 cos y

Passo 3

Observamos que a equação está na forma:
dxdy + P(y)x = Q(y)x^n
Onde:
  • $ P(y) = -\frac{1}{2y} $
  • $ Q(y) = \frac{1}{2} \cos y $
  • $ n = 3 $
Essa é a forma da Equação de Bernoulli, que pode ser resolvida por uma substituição adequada.

Passo 4

Para resolver uma Equação de Bernoulli, fazemos a substituição:
v = x^1 - n = x^1 - 3 = x^-2
Agora, precisamos encontrar $ \frac{dv}{dy} $. Derivando $ v $ em relação a $ y $:
dvdy

Passo 5

Substituímos $ \frac{dx}{dy} $ da equação original na expressão de $ \frac{dv}{dy} $:
dxdy
Simplificando:
dvdy
dvdy = -2x^-3 ( x2y - x^32 cos y )
dvdy = -2 ( x^-22y - x^02 cos y )

Passo 6

Agora, temos uma equação linear em $ v $:
v
Para resolver essa equação linear, usamos o Fator Integrante. Calculamos o fator integrante $ \mu(y) $:
dvdy + vy = cos y

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante $ y $:
y
Isso simplifica a equação para:
y dvdy + v = y cos y

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a $ y $:
y
Para resolver a integral $ \int y \cos y , dy $, usamos a técnica de Integração por Partes, onde:
  • $ u = y $ => $ du = dy $
  • $ dv = \cos y , dy $ => $ v = \sin y $
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = u v - \int v , du $:
v cdot y = integral y cos y , dy
integral y cos y , dy

Passo 9

Substituindo de volta na equação:
v cdot y = y sin y + cos y + C
Onde $ C $ é a constante de integração. Agora, isolamos $ v $:
C

Passo 10

Lembrando que fizemos a substituição $ v = x^{-2} $, substituímos de volta para encontrar $ x $:
v = x^-2
Invertendo ambos os lados para resolver para $ x $:
x
E, finalmente, tiramos a raiz quadrada:
x^-2 = sin y + cos yy + Cy

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x = pm raiz 1sin y + cos yy + Cy
Onde $ C $ é uma constante de integração.

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