Encontre o fator de integração apropriado e resolva a EDO abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é assim:
Essa equação aparece no estudo de EDOs, onde queremos achar uma função $ y(x) $ que satisfaça essa relação. Para resolver isso, vamos precisar encontrar um fator de integração que torne a equação exata, ou seja, que permita integrar facilmente ambos os lados. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro:
Onde:
- $ M(x, y) = y $
- $ N(x, y) = 2x - y^{2} $
Para verificar se a equação já é exata, a gente calcula as derivadas parciais:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação não é exata. Então, precisamos achar um fator de integração que, ao multiplicar a equação, torne ela exata.
Passo 3
Agora, vamos tentar encontrar um fator de integração que dependa apenas de $ x $ ou apenas de $ y $. Vamos supor que o fator $ \mu $ depende apenas de $ x $.
Se $ \mu = \mu(x) $, a condição para a equação se tornar exata é:
Substituindo os valores que temos:
Aqui percebemos que se $ \mu $ depende apenas de $ x $, mas o lado direito está em função de $ y $, o que não é possível. Portanto, vamos tentar assumir que $ \mu $ depende apenas de $ y $.
Passo 4
Assumindo que $ \mu = \mu(y) $, a condição para exatidão fica:
Calculando as derivadas necessárias:
- $ \frac{\partial M}{\partial x} = 0 $
- $ \frac{\partial N}{\partial y} = -2y $
Substituindo na condição:
Ainda parece complicado encontrar $ \mu(y) $, então vamos tentar outro caminho.
Passo 5
Vamos tentar reorganizar a equação original para ver se conseguimos identificar uma forma que facilite encontrar o fator de integração.
A equação é:
Podemos dividir todos os termos por $ dx $:
Essa forma pode sugerir uma substituição que simplifique a equação. Vamos tentar a substituição $ v = y^{2} $, então $ \frac{dv}{dx} = 2y \frac{dy}{dx} $.
Passo 6
Com $ v = y^{2} $, temos:
Agora, rearranjamos para obter uma equação linear em termos de $ v $ e $ x $:
Essa equação ainda parece complicada, mas podemos tentar manipular para encontrar uma solução.
Passo 7
Vamos multiplicar ambos os lados por $ 2x - v $ para simplificar:
Agora, podemos tentar isolar os termos para integrar.
Passo 8
Uma abordagem melhor é considerar a substituição $ u = 2x - v $. Assim, $ \frac{du}{dx} = 2 - \frac{dv}{dx} $.
Substituindo na equação:
E sabendo que $ \frac{du}{dx} = 2 - \frac{dv}{dx} $, podemos expressar $ \frac{dv}{dx} = 2 - \frac{du}{dx} $.
Substituindo de volta:
Ainda não está muito claro, então vamos tentar outra estratégia.
Passo 9
Vamos voltar à equação original:
Multiplicando por um fator de integração $ \mu(y) $:
Agora, para que a equação seja exata, deve valer:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Passo 10
Agora, integramos ambos os lados para encontrar $ \mu(y) $:
Podemos escolher $ C = 1 $ para simplificar, então:
Passo 11
Multiplicando a equação original pelo fator de integração $ \mu(y) = y $:
Agora, a equação é exata, então existe uma função $ F(x, y) $ tal que:
Vamos integrar $ \frac{\partial F}{\partial x} = y^{2} $ em relação a $ x $:
Onde $ h(y) $ é uma função só de $ y $.
Passo 12
Agora, derivamos $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ \frac{\partial F}{\partial y} $:
Integrando $ h’(y) $:
Então, a função $ F(x, y) $ é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é a constante de integração.