Encontre o fator de integração apropriado e resolva a EDO abaixo.
y d x+(2 x-y^2) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é assim:
y , dx + (2x - y^2) , dy = 0
Essa equação aparece no estudo de EDOs, onde queremos achar uma função $ y(x) $ que satisfaça essa relação. Para resolver isso, vamos precisar encontrar um fator de integração que torne a equação exata, ou seja, que permita integrar facilmente ambos os lados. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
Onde:
  • $ M(x, y) = y $
  • $ N(x, y) = 2x - y^{2} $
Para verificar se a equação já é exata, a gente calcula as derivadas parciais:
M(x, y) = y
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação não é exata. Então, precisamos achar um fator de integração que, ao multiplicar a equação, torne ela exata.

Passo 3

Agora, vamos tentar encontrar um fator de integração que dependa apenas de $ x $ ou apenas de $ y $. Vamos supor que o fator $ \mu $ depende apenas de $ x $.
Se $ \mu = \mu(x) $, a condição para a equação se tornar exata é:
x
Substituindo os valores que temos:
y
Aqui percebemos que se $ \mu $ depende apenas de $ x $, mas o lado direito está em função de $ y $, o que não é possível. Portanto, vamos tentar assumir que $ \mu $ depende apenas de $ y $.

Passo 4

Assumindo que $ \mu = \mu(y) $, a condição para exatidão fica:
mu = mu(y)
Calculando as derivadas necessárias:
  • $ \frac{\partial M}{\partial x} = 0 $
  • $ \frac{\partial N}{\partial y} = -2y $
Substituindo na condição:
dmudy = mu cdot partial Mpartial x - partial Npartial yN
Ainda parece complicado encontrar $ \mu(y) $, então vamos tentar outro caminho.

Passo 5

Vamos tentar reorganizar a equação original para ver se conseguimos identificar uma forma que facilite encontrar o fator de integração.
A equação é:
y , dx + (2x - y^2) , dy = 0
Podemos dividir todos os termos por $ dx $:
dx
Essa forma pode sugerir uma substituição que simplifique a equação. Vamos tentar a substituição $ v = y^{2} $, então $ \frac{dv}{dx} = 2y \frac{dy}{dx} $.

Passo 6

Com $ v = y^{2} $, temos:
v = y^2
Agora, rearranjamos para obter uma equação linear em termos de $ v $ e $ x $:
dvdx = 2y cdot dydx = 2y cdot ( -y2x - y^2 ) = -2y^22x - y^2 = -2v2x - v
Essa equação ainda parece complicada, mas podemos tentar manipular para encontrar uma solução.

Passo 7

Vamos multiplicar ambos os lados por $ 2x - v $ para simplificar:
2x - v
Agora, podemos tentar isolar os termos para integrar.

Passo 8

Uma abordagem melhor é considerar a substituição $ u = 2x - v $. Assim, $ \frac{du}{dx} = 2 - \frac{dv}{dx} $.
Substituindo na equação:
u = 2x - v
E sabendo que $ \frac{du}{dx} = 2 - \frac{dv}{dx} $, podemos expressar $ \frac{dv}{dx} = 2 - \frac{du}{dx} $.
Substituindo de volta:
dudx = 2 - dvdx
Ainda não está muito claro, então vamos tentar outra estratégia.

Passo 9

Vamos voltar à equação original:
y , dx + (2x - y^2) , dy = 0
Multiplicando por um fator de integração $ \mu(y) $:
mu(y)
Agora, para que a equação seja exata, deve valer:
mu(y) y , dx + mu(y) (2x - y^2) , dy = 0
Calculando as derivadas:
partialpartial y [mu(y) y] = partialpartial x [mu(y) (2x - y^2)]
Simplificando:
mu'(y) y + mu(y) = mu(y) cdot 2

Passo 10

Agora, integramos ambos os lados para encontrar $ \mu(y) $:
mu(y)
Podemos escolher $ C = 1 $ para simplificar, então:
integral mu'(y)mu(y) , dy = integral 1y , dy Rightarrow ln |mu(y)| = ln |y| + C Rightarrow mu(y) = C y

Passo 11

Multiplicando a equação original pelo fator de integração $ \mu(y) = y $:
mu(y) = y
Agora, a equação é exata, então existe uma função $ F(x, y) $ tal que:
y cdot y , dx + y (2x - y^2) , dy = 0 Rightarrow y^2 , dx + (2xy - y^3) , dy = 0
Vamos integrar $ \frac{\partial F}{\partial x} = y^{2} $ em relação a $ x $:
F(x, y)
Onde $ h(y) $ é uma função só de $ y $.

Passo 12

Agora, derivamos $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ \frac{\partial F}{\partial y} $:
F(x, y)
Integrando $ h’(y) $:
y
Então, a função $ F(x, y) $ é:
partial Fpartial y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y^2 x - y^44 = C
Onde $ C $ é a constante de integração.

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