Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com a condição inicial
e
. A matéria que vamos usar aqui é de equações diferenciais, mais especificamente, equações diferenciais de primeira ordem que podem ser resolvidas por métodos como equações exatas ou fator integrante. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Temos:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de
Como
Passo 3
Observando a equação, percebemos que pode ser uma equação linear de primeira ordem na forma:
Para reescrever nossa equação nessa forma, dividimos todos os termos por
Aqui, temos:
Passo 4
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
:
Voltando para
Portanto, o fator integrante é:
Passo 5
Multiplicamos a equação diferencial original pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Fazendo a substituição
, temos
:
Substituindo
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial
e
para encontrar o valor de
:
Substituindo
Resposta
A solução particular da equação diferencial é: