Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
(x y+x) d x+raiz4+x^2 d y=0, x=0, y=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial (x y + x) dx + raiz4 + x^2 dy = 0 com a condição inicial x = 0 e y = 1. A matéria que vamos usar aqui é de equações diferenciais, mais especificamente, equações diferenciais de primeira ordem que podem ser resolvidas por métodos como equações exatas ou fator integrante. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Temos:
M(x, y) = x y + x
N(x, y) = raiz4 + x^2
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x:
partial Mpartial y = x
partial Npartial x = xraiz4 + x^2
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x, a equação não é exata. Então, vamos procurar um fator integrante.

Passo 3

Observando a equação, percebemos que pode ser uma equação linear de primeira ordem na forma:
dydx + P(x) y = Q(x)
Para reescrever nossa equação nessa forma, dividimos todos os termos por raiz4 + x^2:
dydx + xraiz4 + x^2 y = -xraiz4 + x^2
Aqui, temos:
P(x) = xraiz4 + x^2
Q(x) = -xraiz4 + x^2

Passo 4

O próximo passo é encontrar o fator integrante mu(x), que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Calculando a integral:
integral xraiz4 + x^2 dx
Fazendo a substituição u = 4 + x^2, temos du = 2x dx, ou seja, x dx = du2:
integral xraizu cdot du2x = 12 integral u^-1/2 du = 12 cdot 2 u^1/2 + C = raizu + C
Voltando para x:
integral xraiz4 + x^2 dx = raiz4 + x^2 + C
Portanto, o fator integrante é:
mu(x) = e^raiz4 + x^2

Passo 5

Multiplicamos a equação diferencial original pelo fator integrante:
e^raiz4 + x^2 cdot dydx + e^raiz4 + x^2 cdot xraiz4 + x^2 y = -e^raiz4 + x^2 cdot xraiz4 + x^2
O lado esquerdo agora é a derivada do produto mu(x) y:
ddx ( e^raiz4 + x^2 y ) = -e^raiz4 + x^2 cdot xraiz4 + x^2

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral ddx ( e^raiz4 + x^2 y ) dx = integral -e^raiz4 + x^2 cdot xraiz4 + x^2 dx
Isso simplifica para:
e^raiz4 + x^2 y = -integral e^raiz4 + x^2 cdot xraiz4 + x^2 dx + C
Fazendo a substituição u = raiz4 + x^2, temos du = xraiz4 + x^2 dx:
e^u y = -integral e^u du + C
e^u y = -e^u + C
Substituindo u = raiz4 + x^2:
e^raiz4 + x^2 y = -e^raiz4 + x^2 + C
Dividindo ambos os lados por e^raiz4 + x^2:
y = -1 + C e^-raiz4 + x^2

Passo 7

Agora aplicamos a condição inicial x = 0 e y = 1 para encontrar o valor de C:
1 = -1 + C e^-raiz4 + 0^2
1 = -1 + C e^-2
2 = C e^-2
C = 2 e^2
Substituindo C na solução geral:
y = -1 + 2 e^2 e^-raiz4 + x^2
y = 2 e^2 - raiz4 + x^2 - 1

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:
y = 2 e^2 - raiz4 + x^2 - 1

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