Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
y^prime prime+3 y^prime+2 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
y'' + 3y' + 2y = 0.
Trata-se de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes. Vamos usar o método do polinômio característico para encontrar a solução geral.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado à equação trocando y por e^rx, o que leva a
r^2 + 3r + 2 = 0

Passo 3

Resolvemos o polinômio característico. Ele fatoriza assim:
(r + 1)(r + 2) = 0,
portanto as raízes são
r1 = -1 e r2 = -2.

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Substituindo r1 e r2, obtemos
y(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x

Resposta

y(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x

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