Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
y^prime prime-2 y^prime-8 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' - 8y = 0
O conteúdo aqui é o método do polinômio característico: substituímos ymapsto e^rx e achamos as raízes r.

Passo 2

Montamos o polinômio característico trocando y'' por r^2, y' por r e y por 1, obtendo
r^2 - 2r - 8 = 0

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot(-8)2 = 2 pm raiz4 + 322 = 2 pm 62
Isso dá as raízes reais e distintas
r1=4 e r2=-2

Passo 4

Para raízes reais e distintas a solução geral da EDO é
y(x)=C1e^r1x+C2e^r2x

Resposta

y(x)=C1e^4x+C2e^-2x, onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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