Em cada caso, determine uma equação diferencial da forma
com a condição dada. Justifique adequadamente sua resposta.
Toda as soluções são retas.
Toda as soluções são retas.
Passo 1
O enunciado pede uma equação diferencial da forma
cuja família geral de soluções seja exatamente o conjunto de todas as retas. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico e relacionar as raízes ao formato das soluções.
Passo 2
Montamos o polinômio característico associado:
Queremos que toda solução seja da forma
. No método de coeficientes constantes, isso ocorre se e só se a equação característica tiver raiz
de multiplicidade 2.
Passo 3
Se a raiz dupla é
, então:
- Soma das raízes
. Mas pela fórmula da soma, . Logo - Produto das raízes
. Mas pela fórmula do produto, . Logo
Passo 4
Substituindo
e
na equação original, obtemos
Como
, podemos dividir por
e ficar com
Passo 5
Integramos duas vezes:
que é exatamente a família de todas as retas.