Em cada caso, determine uma equação diferencial da forma a y^prime prime+b y^prime+c y=0, a neq 0 com a condição dada. Justifique adequadamente sua resposta.
Toda as soluções são retas.

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial da forma
a,y'' + b,y' + c,y = 0, aneq 0,
cuja família geral de soluções seja exatamente o conjunto de todas as retas. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico e relacionar as raízes ao formato das soluções.

Passo 2

Montamos o polinômio característico associado:
a,r^2 + b,r + c = 0
Queremos que toda solução seja da forma y(x)=C1 + C2,x. No método de coeficientes constantes, isso ocorre se e só se a equação característica tiver raiz r=0 de multiplicidade 2.

Passo 3

Se a raiz dupla é r=0, então:
  • Soma das raízes r1 + r2 = 0 + 0 = 0. Mas pela fórmula da soma, r1 + r2 = -tfracba. Logo -ba = 0 Longrightarrow b = 0
  • Produto das raízes r1r2 = 0cdot 0 = 0. Mas pela fórmula do produto, r1r2 = tfracca. Logo ca = 0 Longrightarrow c = 0

Passo 4

Substituindo b=0 e c=0 na equação original, obtemos
a,y'' = 0
Como aneq 0, podemos dividir por a e ficar com
y'' = 0

Passo 5

Integramos duas vezes:
y' = C2, y = C2,x + C1,
que é exatamente a família de todas as retas.

Resposta

y'' = 0

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