Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
y^prime prime-2 y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y^primeprime-2y^prime=0
Para resolver, vamos usar o método da equação característica, assumindo uma solução da forma y=e^rx.

Passo 2

Substituindo y=e^rx na equação, obtemos
r^2e^rx-2re^rx=0
Como e^rxneq0, podemos dividir por e^rx e chegar à equação característica
r^2-2r=0

Passo 3

Resolvendo
r^2-2r=0Longrightarrow r(r-2)=0,
vemos que as raízes são r1=0 e r2=2, distintas entre si.

Passo 4

Para raízes reais e distintas, a solução geral é
y(x)=C1e^r1x+C2e^r2x=C1e^0cdot x+C2e^2x=C1+C2e^2x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C1 + C2e^2x

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