Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
y^prime prime-y^prime=3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' = 3
Para resolver, vamos obter primeiro a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para o termo não homogêneo 3.

Passo 2

Analisamos a parte homogênea
y'' - y' = 0
Escrevendo a equação característica, temos
r^2 - r = 0 Longrightarrow r(r - 1) = 0,
logo as raízes são r = 0 e r = 1. Assim a solução geral homogênea é
yh(x) = C1 e^0cdot x + C2 e^1cdot x = C1 + C2 e^x

Passo 3

Como o termo não homogêneo é a constante 3 e r=0 já é raiz da característica, tentamos um polinômio de grau 1 para a solução particular:
yp(x) = A x
Daí
yp'(x) = A, yp''(x) = 0

Passo 4

Substituindo na equação original:
yp'' - yp' = 0 - A = 3 Longrightarrow -,A = 3 Longrightarrow A = -3
Logo
yp(x) = -3x

Resposta

A solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 + C2 e^x - 3x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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