Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
y^prime prime+3 y^prime+2 y=1-te^t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' + 2y = 1 - te^t,
O conteúdo envolve somar a solução homogênea e uma particular (método dos coeficientes a determinar). Vamos usar:
  1. resolver a equação característica para achar yh;
  2. propor um palpite para yp considerando ressonância;
  3. determinar os coeficientes e somar as duas partes.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 3y' + 2y = 0
A equação característica é
r^2 + 3r + 2 = 0,
cuja raiz dupla simples dá r=-1 e r=-2. Logo,
yh(t) = C1 e^-t + C2 e^-2t,

Passo 3

O termo não homogêneo é
1 - te^t = (1 - t)e^-t,
um polinômio de grau 1 vezes e^-t. Como -1 é raiz da característica (multiplicidade 1), o palpite leva um fator t:
yp(t) = t,(A t + B),e^-t = (A t^2 + B t),e^-t,

Passo 4

Calculando derivadas e substituindo em y'' + 3y' + 2y, obtém-se
yp'' + 3yp' + 2yp = [2A,t + (2A + B)],e^-t
Isso deve igualar a (1 - t)e^-t = (-t + 1)e^-t, daí
2A = -1, 2A + B = 1
resultando em
A = -tfrac12, B = 2
Portanto
yp(t) = l(-tfrac12,t^2 + 2tr),e^-t,

Passo 5

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t)

Resposta

y(t) = C1 e^-t + C2 e^-2t + l(2t - tfrac12,t^2r)e^-t

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