Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo envolve somar a solução homogênea e uma particular (método dos coeficientes a determinar). Vamos usar:
- resolver a equação característica para achar
; - propor um palpite para
considerando ressonância; - determinar os coeficientes e somar as duas partes.
Passo 2
A equação homogênea associada é
A equação característica é
cuja raiz dupla simples dá
e
. Logo,
Passo 3
O termo não homogêneo é
um polinômio de grau 1 vezes
. Como
é raiz da característica (multiplicidade 1), o palpite leva um fator
:
Passo 4
Calculando derivadas e substituindo em
, obtém-se
Isso deve igualar a
, daí
resultando em
Portanto
Passo 5
A solução geral é