Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial e descreva o comportamento da solução quando t infty ?
y^prime prime+5 y^prime-14 y=e^-3 t-t^2 com y(0)=6, y^prime(0)=-6.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos resolver o PVI
y'' + 5y' - 14y = e^-3t - t^2, y(0)=6,;y'(0)=-6
Conteúdo: EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Método: solução geral = solução homogênea + particular, depois impor condições iniciais e analisar o termo dominante quando ttoinfty.

Passo 2

Solução da homogênea. A equação característica é
r^2 + 5r - 14 = 0,
cuja raízes são r=-7 e r=2. Logo
yh(t) = C1 e^2t + C2 e^-7t

Passo 3

Proponho um particular da forma
yp(t) = A e^-3t ;+; a,t^2 + b,t + c
1. Para A e^-3t:
l[(!-!3)^2+5(-3)-14r]A =1implies(-20)A=1implies A=-tfrac120 2. Para a t^2+bt+c:
yp''+5yp'-14yp =-14a,t^2 + (10a-14b),t + (2a+5b-14c) overset!= -t^2 +0,t +0
Igualando coeficientes:
-14a=-1implies a=tfrac114, 10a-14b=0implies b=tfrac598, 2a+5b-14c=0implies c=tfrac391372
Portanto
yp(t) = -tfrac120e^-3t ;+;tfrac114t^2 + tfrac598t + tfrac391372

Passo 4

Solução geral:
y(t) = C1 e^2t + C2 e^-7t -tfrac120e^-3t + tfrac114t^2 + tfrac598t + tfrac391372
Impondo y(0)=6 e y'(0)=-6 gera o sistema
C1 + C2 -tfrac120 + tfrac391372 = 6, 2C1 -7C2 + tfrac320 + tfrac598 = -6
Dessa forma encontra-se
C1 = 24661761740, C2 = 2503112348

Passo 5

Com C1>0, o termo C1 e^2t domina quando ttoinfty. Portanto
y(t)sim C1 e^2tto +infty

Resposta

boxed y(t)=24661761740e^2t +2503112348e^-7t -120e^-3t +114t^2+598t+391372,
e y(t)to+infty quando ttoinfty.

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