(3,5 pontos) Considere a seguinte EDO linear de segunda ordem
y^{\prime \prime}+y=\csc t
a) (1 pontos) Encontre a solução geral da equação homogênea associada.
b) (2 pontos) Utilizando o método da variação de parâmetros, encontre uma solução particular da equação.
c) (0,5 ponto) Escreva a solução geral da EDO.
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
A equação diferencial dada é
y''+y=\csc t.
Lembrete dado: \csc t=\dfrac{1}{\sin t}.
Perguntas:
(a) Encontre a solução geral da equação homogênea associada.
(b) Usando o método da variação de parâmetros, encontre uma solução particular da equação completa.
(c) Escreva a solução geral da EDO completa.
Observação importante para toda a resolução: a força não-homogênea \csc t só está definida quando \sin t\neq0. Portanto as soluções que vamos obter valem em intervalos onde \sin t\neq0 (por exemplo intervalos abertos (n\pi,(n+1)\pi)).
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
y''+y=0.
Propondo solução exponencial y=e^{rt} dá a equação característica
r^{2}+1=0.
As raízes são r=\pm i. Para raízes complexas \pm i a solução geral da homogênea é combinação linear de cosseno e seno:
y_h=C_{1}\cos t+C_{2}\sin t,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Preparar o método da variação de parâmetros. Vou usar as duas soluções fundamentais da homogênea:
y_{1}(t)=\cos t,\qquad y_{2}(t)=\sin t.
A ideia do método: procurar uma solução particular da forma
y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t),
onde u_{1}(t) e u_{2}(t) são funções a determinar. Para simplificar os cálculos impomos a condição auxiliar
u_{1}'(t)y_{1}(t)+u_{2}'(t)y_{2}(t)=0,
o que reduz a ordem do sistema que precisamos resolver.
Passo 4
Com a condição auxiliar, a substituição em y''+y=\csc t\) leva ao sistema linear para \(u_{1}'\) e \(u_{2}'\):
\[\begin{cases} u_{1}'(t)y_{1}(t)+u_{2}'(t)y_{2}(t)=0,\\[4pt] u_{1}'(t)y_{1}'(t)+u_{2}'(t)y_{2}'(t)=\csc t. \end{cases}
Escrevendo com y_{1}=\cos t\], \(y_{2}=\sin t, y_{1}'=-\sin t, y_{2}'=\cos t, o sistema fica
\begin{cases} u_{1}'(t)\cos t+u_{2}'(t)\sin t=0,\\[4pt] -u_{1}'(t)\sin t+u_{2}'(t)\cos t=\csc t. \end{cases}]
Passo 5
Resolver o sistema para u_{1}' e u_{2}'. Usando a regra de Cramer, o Wronskiano das soluções fundamentais é
W(t)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\[4pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos t & \sin t\\[4pt] -\sin t & \cos t \end{vmatrix} =\cos^{2}t+\sin^{2}t=1.
Integrar u_{1}' e u_{2}' para obter u_{1} e u_{2}. Tomando constantes de integração iguais a zero (essas constantes seriam absorvidas na solução homogênea),