(3,5 pontos) Considere a seguinte EDO linear de segunda ordem
y^{\prime \prime}+y=\csc t
a) (1 pontos) Encontre a solução geral da equação homogênea associada.
b) (2 pontos) Utilizando o método da variação de parâmetros, encontre uma solução particular da equação.
c) (0,5 ponto) Escreva a solução geral da EDO.
\text { Lembrete: } \csc t=\frac{1}{\operatorname{sen} t}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A equação diferencial dada é
y''+y=\csc t.
  • Lembrete dado: \csc t=\dfrac{1}{\sin t}.
  • Perguntas:
    (a) Encontre a solução geral da equação homogênea associada.
    (b) Usando o método da variação de parâmetros, encontre uma solução particular da equação completa.
    (c) Escreva a solução geral da EDO completa.
Observação importante para toda a resolução: a força não-homogênea \csc t só está definida quando \sin t\neq0. Portanto as soluções que vamos obter valem em intervalos onde \sin t\neq0 (por exemplo intervalos abertos (n\pi,(n+1)\pi)).

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
y''+y=0.
Propondo solução exponencial y=e^{rt} dá a equação característica
r^{2}+1=0.
As raízes são r=\pm i. Para raízes complexas \pm i a solução geral da homogênea é combinação linear de cosseno e seno:
y_h=C_{1}\cos t+C_{2}\sin t,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Preparar o método da variação de parâmetros. Vou usar as duas soluções fundamentais da homogênea:
y_{1}(t)=\cos t,\qquad y_{2}(t)=\sin t.
A ideia do método: procurar uma solução particular da forma
y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t),
onde u_{1}(t) e u_{2}(t) são funções a determinar. Para simplificar os cálculos impomos a condição auxiliar
u_{1}'(t)y_{1}(t)+u_{2}'(t)y_{2}(t)=0,
o que reduz a ordem do sistema que precisamos resolver.

Passo 4

Com a condição auxiliar, a substituição em y''+y=\csc t\) leva ao sistema linear para \(u_{1}'\) e \(u_{2}'\): \[\begin{cases} u_{1}'(t)y_{1}(t)+u_{2}'(t)y_{2}(t)=0,\\[4pt] u_{1}'(t)y_{1}'(t)+u_{2}'(t)y_{2}'(t)=\csc t. \end{cases}
Escrevendo com y_{1}=\cos t\], \(y_{2}=\sin t, y_{1}'=-\sin t, y_{2}'=\cos t, o sistema fica
\begin{cases} u_{1}'(t)\cos t+u_{2}'(t)\sin t=0,\\[4pt] -u_{1}'(t)\sin t+u_{2}'(t)\cos t=\csc t. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema para u_{1}' e u_{2}'. Usando a regra de Cramer, o Wronskiano das soluções fundamentais é
W(t)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\[4pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos t & \sin t\\[4pt] -\sin t & \cos t \end{vmatrix} =\cos^{2}t+\sin^{2}t=1.
Portanto, as fórmulas padrão dão
u_{1}'(t)=-\frac{y_{2}(t)\,g(t)}{W(t)}=-\sin t\cdot\csc t=-1,
u_{2}'(t)=\frac{y_{1}(t)\,g(t)}{W(t)}=\cos t\cdot\csc t=\frac{\cos t}{\sin t}=\cot t,
onde g(t)=\csc t é o termo não-homogêneo.]

Passo 6

Integrar u_{1}' e u_{2}' para obter u_{1} e u_{2}. Tomando constantes de integração iguais a zero (essas constantes seriam absorvidas na solução homogênea),
u_{1}(t)=\int u_{1}'(t)\,dt=\int -1\,dt=-t,
u_{2}(t)=\int u_{2}'(t)\,dt=\int \cot t\,dt=\ln\lvert\sin t\rvert.
(Explicação rápida: \dfrac{d}{dt}\ln\lvert\sin t\rvert=\dfrac{\cos t}{\sin t}=\cot t.)

Passo 7

Formar a solução particular y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}:
y_{p}(t)=(-t)\cos t+\ln\lvert\sin t\rvert\cdot\sin t.
Podemos simplificar a escrita como
y_{p}(t)=-t\cos t+\ln\lvert\sin t\rvert\,\sin t.

Passo 8

Verificação (útil para aprender a confiar no resultado). Calcular y_{p}' e y_{p}'' e verificar que y_{p}''+y_{p}=\csc t.
Calcule y_{p}':
y_{p}'=( -\cos t + t\sin t ) + \big( \cot t\cdot\sin t + \ln\lvert\sin t\rvert\cos t\big) = t\sin t+\ln\lvert\sin t\rvert\cos t,
pois \cot t\cdot\sin t=\cos t e -\cos t+\cos t=0.
Calcule y_{p}'':
y_{p}''=(\sin t + t\cos t)+\Big(\frac{\cos^{2}t}{\sin t}-\ln\lvert\sin t\rvert\sin t\Big).
Somando y_{p}''+y_{p} obtém-se
y_{p}''+y_{p}=\sin t+\frac{\cos^{2}t}{\sin t}=\frac{\sin^{2}t+\cos^{2}t}{\sin t}=\frac{1}{\sin t}=\csc t,
como exigido. Portanto y_{p} de fato é uma solução particular.

Passo 9

Escrever a solução geral da EDO somando a homogênea e a particular (válida em intervalos onde \sin t\neq0):
y(t)=C_{1}\cos t+C_{2}\sin t - t\cos t+\ln\lvert\sin t\rvert\,\sin t.

Resposta

(a) y_{h}(t)=C_{1}\cos t+C_{2}\sin t
(b) y_{p}(t)=-t\cos t+\ln\lvert\sin t\rvert\,\sin t
(c) y(t)=C_{1}\cos t+C_{2}\sin t - t\cos t+\ln\lvert\sin t\rvert\,\sin t (válida onde \sin t\neq0).

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