Determine a solução geral de cada um dos seguintes sistemas de equações diferenciais. Qual é o comportamento quando t \rightarrow \infty, da solução que satisfaz a condição inicial x(0)=1 ; y(0)=1 ?
x^{\prime}=3 x
y^{\prime}=x+3 y

Passo 1

Temos o sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem
\begin{cases} x' = 3x,\\\ y' = x + 3y, \end{cases}
com condição inicial x(0)=1, y(0)=1. O conteúdo é resolução de sistemas lineares via solução de equação autônoma e método do fator integrante.

Passo 2

Resolvendo a primeira equação
x' = 3x,
separamos variáveis ou reconhecemos que é equação exponencial. Logo
x(t) = C_{1} e^{3t},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 3

Substituímos x(t)=C_{1}e^{3t} na segunda equação para obter
y' - 3y = C_{1}e^{3t}.
Trata-se de uma equação linear não homogênea de coeficientes constantes. O fator integrante é
\mu(t) = e^{\int -3\,dt} = e^{-3t}.
Multiplicando a equação por \mu(t) temos
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{-3t}\bigr) = C_{1},
pois e^{-3t}y' -3e^{-3t}y = \frac{d}{dt}(y\,e^{-3t}).

Passo 4

Integramos em relação a t:
y\,e^{-3t} = C_{1}t + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Assim
y(t) = \bigl(C_{1}t + C_{2}\bigr)\,e^{3t}.
Portanto a solução geral do sistema é
x(t) = C_{1}e^{3t}, \quad y(t) = \bigl(C_{1}t + C_{2}\bigr)e^{3t}.

Passo 5

Aplicando as condições iniciais x(0)=1 e y(0)=1:
daqui x(0)=C_{1}e^{0}=C_{1}=1.
E y(0)=(C_{1}\cdot0+C_{2})e^{0}=C_{2}=1.
Logo a solução particular é
x(t) = e^{3t}, \quad y(t) = (t+1)e^{3t}.

Passo 6

Quando t \rightarrow \infty, temos e^{3t}\to\infty e t+1\to\infty. Portanto
x(t)\to +\infty, \quad y(t)\to +\infty,
isto é, ambas as componentes crescem exponencialmente (com y ainda ponderado por fator polinomial).

Resposta

A solução geral é
x(t) = C_{1}e^{3t}, \quad y(t) = \bigl(C_{1}t + C_{2}\bigr)e^{3t}.
A solução que satisfaz x(0)=1, y(0)=1 é
x(t) = e^{3t}, \quad y(t) = (t+1)e^{3t},
que diverge para +\infty em ambas as componentes quando t\to\infty.

Exercícios relacionados