Determine a solução geral de cada um dos seguintes sistemas de equações diferenciais. Qual é o comportamento quando
, da solução que satisfaz a condição inicial
?
Passo 1
Temos o sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem
com condição inicial
,
. O conteúdo é resolução de sistemas lineares via solução de equação autônoma e método do fator integrante.
Passo 2
Resolvendo a primeira equação
separamos variáveis ou reconhecemos que é equação exponencial. Logo
onde
é constante de integração.
Passo 3
Substituímos
na segunda equação para obter
Trata-se de uma equação linear não homogênea de coeficientes constantes. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
temos
pois
.
Passo 4
Integramos em relação a
:
onde
é outra constante de integração. Assim
Portanto a solução geral do sistema é
Passo 5
Aplicando as condições iniciais
e
:
daqui .
E .
Logo a solução particular é
daqui
E
Logo a solução particular é
Passo 6
Quando
, temos
e
. Portanto
isto é, ambas as componentes crescem exponencialmente (com
ainda ponderado por fator polinomial).
Resposta
A solução geral é
A solução que satisfaz
,
é
que diverge para
em ambas as componentes quando
.