Determine a solução geral de cada sistema abaixo.
X^{\prime}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right) X.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de variáveis dependentes X(t) satisfazendo
X' = A X,
onde
A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\[4pt] 1 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 2\end{pmatrix}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A matriz A é explícita (escrita acima).
  • A incógnita é o vetor função X(t)\in\mathbb{R}^3.
  • Precisa-se da solução geral X(t) — isto é, a família de todas as soluções expressa com constantes arbitrárias.]

Passo 2

Vamos encontrar os autovalores de A (primeiro passo clássico para resolver X'=AX). Como A tem bloco triangular (o terceiro estado está separado), o polinômio característico factoriza como o determinante do bloco 2\times2 vezes (2-\lambda). Calculemos:
\det(A-\lambda I)=\det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & -1 \\[4pt] 1 & 1-\lambda\end{pmatrix}\cdot(2-\lambda).
O determinante do bloco 2\times2 é
(1-\lambda)^2 + 1 = \lambda^2 -2\lambda +2.
Portanto o polinômio característico é
(\lambda^2-2\lambda+2)(2-\lambda)=0.
As raízes são:
\lambda_{1,2}=1\pm i \qquad\text{e}\qquad \lambda_3=2.
Comentário didático curto: apareceram um par complexo conjugado \,1\pm i\, e um autovalor real 2. O par complexo gera soluções oscilatórias multiplicadas por e^{t}; o autovalor 2 gera uma solução e^{2t} no eixo correspondente.]

Passo 3

Agora encontramos um autovetor complexo associado a \lambda=1+i (basta para depois extrair partes reais). Resolvemos (A-(1+i)I)v=0. Para as primeiras duas coordenadas temos o sistema
\begin{pmatrix}-i & -1 \\[4pt] 1 & -i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt] v_2\end{pmatrix}=0.
Da primeira linha -i v_1 - v_2 = 0 segue v_2 = -i v_1. Tomando v_1=1 escolhemos o autovetor
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
(Observação: a terceira coordenada é zero porque o terceiro eixo forma um bloco separado.)]

Passo 4

A solução complexa associada é
X_c(t)=e^{(1+i)t}v=e^{t}e^{it}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-i\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para obter soluções reais (que é o que queremos), usamos as partes real e imaginária de X_c(t). Escrevemos v=u+i w com
u=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad w=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Fórmula útil (explicação breve): se X_c(t)=e^{\alpha t}(\cos(\beta t)+i\sin(\beta t))(u+i w) é solução complexa então as duas soluções reais independentes são as partes reais e imaginárias de X_c(t), explicitamente
e^{\alpha t}\big(\cos(\beta t)\,u-\sin(\beta t)\,w\big) \quad\text{e}\quad e^{\alpha t}\big(\cos(\beta t)\,w+\sin(\beta t)\,u\big).
No nosso caso \alpha=1 e \beta=1. Calculando as combinações:
  • Primeira solução real (parte real):
X^{(1)}(t)=e^{t}\big(\cos t\;u - \sin t\;w\big) = e^{t}\begin{pmatrix}\cos t\\[4pt]\sin t\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Segunda solução real (parte imaginária):
X^{(2)}(t)=e^{t}\big(\cos t\;w + \sin t\;u\big) = e^{t}\begin{pmatrix}\sin t\\[4pt]-\cos t\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Essas duas soluções são linearmente independentes e geram a parte do espaço associada ao par de autovalores complexos.]

Passo 5

Agora tratamos o autovalor real \lambda_3=2. A equação para autovetor é (A-2I)v=0. Observando A (terceira linha/coluna separada), fica claro que um autovetor associado é
v_3=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},
pois a terceira coordenada evolui isoladamente segundo x_3'=2x_3. A solução correspondente é
X^{(3)}(t)=e^{2t}\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Como temos três soluções fundamentais independentes X^{(1)}(t),X^{(2)}(t),X^{(3)}(t), a solução geral é combinação linear delas com constantes reais c_1,c_2,c_3. Assim
X(t)=c_1\,X^{(1)}(t)+c_2\,X^{(2)}(t)+c_3\,X^{(3)}(t).
Escrevendo componente a componente (forma prática para usar na prova):
X(t)=\begin{pmatrix} x_1(t)\\[4pt] x_2(t)\\[4pt] x_3(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{t}\big(c_1\cos t + c_2\sin t\big)\\[6pt] e^{t}\big(c_1\sin t - c_2\cos t\big)\\[6pt] c_3 e^{2t} \end{pmatrix},
onde c_1,c_2,c_3\in\mathbb{R} são constantes determinadas pelas condições iniciais.]

Resposta

X(t)=\begin{pmatrix} e^{t}\big(c_1\cos t + c_2\sin t\big)\\[6pt] e^{t}\big(c_1\sin t - c_2\cos t\big)\\[6pt] c_3 e^{2t} \end{pmatrix},\qquad c_1,c_2,c_3\in\mathbb{R}.]

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