Precisa-se da solução geral X(t) — isto é, a família de todas as soluções expressa com constantes arbitrárias.]
Passo 2
Vamos encontrar os autovalores de A (primeiro passo clássico para resolver X'=AX). Como A tem bloco triangular (o terceiro estado está separado), o polinômio característico factoriza como o determinante do bloco 2\times2 vezes (2-\lambda). Calculemos:
\lambda_{1,2}=1\pm i \qquad\text{e}\qquad \lambda_3=2.
Comentário didático curto: apareceram um par complexo conjugado \,1\pm i\, e um autovalor real 2. O par complexo gera soluções oscilatórias multiplicadas por e^{t}; o autovalor 2 gera uma solução e^{2t} no eixo correspondente.]
Passo 3
Agora encontramos um autovetor complexo associado a \lambda=1+i (basta para depois extrair partes reais). Resolvemos (A-(1+i)I)v=0. Para as primeiras duas coordenadas temos o sistema
Fórmula útil (explicação breve): se X_c(t)=e^{\alpha t}(\cos(\beta t)+i\sin(\beta t))(u+i w) é solução complexa então as duas soluções reais independentes são as partes reais e imaginárias de X_c(t), explicitamente
Essas duas soluções são linearmente independentes e geram a parte do espaço associada ao par de autovalores complexos.]
Passo 5
Agora tratamos o autovalor real \lambda_3=2. A equação para autovetor é (A-2I)v=0. Observando A (terceira linha/coluna separada), fica claro que um autovetor associado é
Como temos três soluções fundamentais independentes X^{(1)}(t),X^{(2)}(t),X^{(3)}(t), a solução geral é combinação linear delas com constantes reais c_1,c_2,c_3. Assim