Determinar uma solução particular do sistema usando o método dos coeficientes indeterminados.
Em seguida, escrever a solução geral do sistema.
Informações relevantes que vamos usar: o termo não homogêneo é um vetor cujo componente em t é um polinômio de grau 1 (pois aparece t e constante). Também é útil escrever o sistema em forma matricial para organizar os cálculos.]
Passo 2
Escrevendo o sistema em forma matricial e explicando a estratégia (sem avançar ainda com cálculos pesados).
Definimos o vetor X(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\end{pmatrix}. Então o sistema pode ser escrito como
Estratégia: primeiro encontramos a solução geral do sistema homogêneo \dfrac{dX}{dt}=A X. Depois usamos o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular X_p(t) do sistema completo. Como b(t) é polinomial de grau 1, tentaremos um X_p(t) polinomial de grau 1 também (vetor cujas componentes são polinômios de grau \le 1).]
Passo 3
Resolver o sistema homogêneo \dfrac{dX}{dt}=A X (passo-a-passo: autovalores, autovetor e vetor generalizado porque há degenerescência).
Da primeira linha v_1+v_2=0, então um autovetor é, por exemplo,
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Como a multiplicidade algébrica é 2 e há apenas um autovetor linearmente independente, precisamos de um vetor generalizado w tal que (A-I)w=v. Resolvendo
Escolha do ansatz (palavra chique para “tentativa”) para a solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados e motivo.
Como b(t)=\begin{pmatrix}t\\[4pt]1\end{pmatrix} é polinomial de grau 1, tentamos uma solução particular polinomial de grau 1:
X_p(t)=p\,t+q,
onde p=\begin{pmatrix}p_1\\[4pt]p_2\end{pmatrix} e q=\begin{pmatrix}q_1\\[4pt]q_2\end{pmatrix} são vetores constantes desconhecidos a determinar.
Raciocínio: ao substituir essa forma no sistema, igualamos coeficientes de potências de t (coeficiente de t e termo constante) para obter sistemas lineares para p e q.]
Passo 5
Substituir X_p(t)=p t+q no sistema e igualar os coeficientes de t (passo a passo para encontrar p).
Derivada:
\frac{dX_p}{dt}=p.
Substituição na equação matricial \dfrac{dX}{dt}=A X + b(t):
p = A(p t + q) + b(t) = (A p)\,t + (A q) + b(t).
Escrevemos b(t)=t\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}. Igualando coeficientes de t:
0 = A p + \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Escrevendo p=(p_1,p_2)^T e calculando A p:
A p=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_1\\[4pt]p_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2p_1+p_2\\[4pt]-p_1\end{pmatrix}.
Da segunda equação p_1=0. Substituindo na primeira:
2\cdot 0 + p_2 +1=0\quad\Rightarrow\quad p_2=-1.
Portanto
p=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]
Passo 6
Agora igualar os termos constantes (para encontrar q) e resolver passo a passo.
Coeficiente constante da expressão p = A q + \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}. Já sabemos p, então
A q = p - \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Escrevendo q=(q_1,q_2)^T e A q=\begin{pmatrix}2q_1+q_2\\[4pt]-q_1\end{pmatrix}, obtemos o sistema
Verificação rápida (mental e simples): x_p'(t)=0. No lado direito 2x_p+y_p+t=2\cdot 2+(-t-4)+t=4-4=0, ok. Também y_p'(t)=-1 e no lado direito -x_p+1=-2+1=-1, ok. Então X_p é de fato solução particular.]
Passo 8
Combinar a solução homogênea com a particular para obter a solução geral do sistema.