Determine a solução geral das e.d.o’s dadas pelo método dos coeficientes a determinar.
x^{\prime \prime}=x.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO x'' = x usando método dos coeficientes indeterminados. Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes; vamos montar a equação característica e encontrar as raízes para depois montar a solução geral.

Passo 2

Colocamos a EDO na forma homogênea
x'' - x = 0
e propomos uma solução do tipo x(t)=e^{rt}, onde r é o coeficiente indeterminado.

Passo 3

Substituindo x(t)=e^{rt} em x'' - x = 0
r^2 e^{rt} - e^{rt} = 0.
Como e^{rt}\neq 0, a equação característica é
r^2 - 1 = 0.

Passo 4

Resolvendo r^2 - 1 = 0 obtemos as raízes
r = 1 \quad\text{e}\quad r = -1.
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
x(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da EDO x'' = x é
x(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-t},
com C_1 e C_2 constantes.

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