Determine a solução geral das e.d.o’s dadas pelo método dos coeficientes a determinar.
x^{\prime \prime}-2 x^{\prime}-3 x=t^{2} e^{3 t}+6.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
x'' - 2x' - 3x = t^2 e^{3t} + 6.
O conteúdo envolve o método dos coeficientes a determinar: a solução geral é
x(t) = x_{\mathrm{h}}(t) + x_{\mathrm{p}}(t),
onde x_{\mathrm{h}} satisfaz a equação homogênea e x_{\mathrm{p}} é uma particular apropriada.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea. A equação característica é
r^2 - 2r - 3 = 0,
cuja solução é
r = 3 \quad\text{ou}\quad r = -1.
Logo
x_{\mathrm{h}}(t) = C_{1} e^{3t} + C_{2} e^{-t},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos x_{\mathrm{p}} como soma de duas particulares, cada uma atendendo a um termo forçante:
x_{\mathrm{p}}(t) = x_{p1}(t) + x_{p2}(t),
onde x_{p1} corresponde a t^2 e^{3t} e x_{p2} ao termo constante 6.

Passo 4

Para o termo t^2 e^{3t}: como r=3 é raiz simples da homogênea, usamos o ansatz
x_{p1}(t) = e^{3t}\bigl(A t^3 + B t^2 + C t\bigr).
Escrevendo u(t)=A t^3 + B t^2 + C t, temos
x_{p1}' = e^{3t}(u' + 3u),\quad x_{p1}'' = e^{3t}(u'' + 6u' +9u),
de onde
L[x_{p1}] = x_{p1}'' -2x_{p1}' -3x_{p1} = e^{3t}\bigl(u'' +4u'\bigr).
Como
u' = 3A t^2 + 2B t + C,\quad u'' = 6A t + 2B,
segue
L[x_{p1}] = e^{3t}\bigl(12A t^2 + (6A+8B)t + (2B+4C)\bigr) \stackrel{!}{=} t^2 e^{3t}.
Comparando coeficientes do polinômio em t:
12A = 1,\quad 6A+8B=0,\quad 2B+4C=0
resulta
A = \tfrac{1}{12},\quad B = -\tfrac{1}{16},\quad C = \tfrac{1}{32}.
Portanto
x_{p1}(t) = e^{3t}\Bigl(\tfrac{1}{12}t^3 - \tfrac{1}{16}t^2 + \tfrac{1}{32}t\Bigr).

Passo 5

Para o termo constante 6, tomamos ansatz x_{p2}(t)=K. Substituindo na eq.
x_{p2}'' -2x_{p2}' -3x_{p2} = -3K = 6 \quad\Longrightarrow\quad K = -2.
Logo
x_{p2}(t) = -2.

Passo 6

Juntando tudo, a solução geral é
x(t) = C_{1} e^{3t} + C_{2} e^{-t} + e^{3t}\Bigl(\tfrac{1}{12}t^3 - \tfrac{1}{16}t^2 + \tfrac{1}{32}t\Bigr) - 2.

Resposta

x(t) = C_{1} e^{3t} + C_{2} e^{-t} + e^{3t}\Bigl(\tfrac{t^3}{12} - \tfrac{t^2}{16} + \tfrac{t}{32}\Bigr) - 2.

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