Determine a solução geral das e.d.o’s dadas pelo método dos coeficientes a determinar.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo envolve o método dos coeficientes a determinar: a solução geral é
onde
satisfaz a equação homogênea e
é uma particular apropriada.
Passo 2
Começamos pela parte homogênea. A equação característica é
cuja solução é
Logo
com
constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos
como soma de duas particulares, cada uma atendendo a um termo forçante:
onde
corresponde a
e
ao termo constante
.
Passo 4
Para o termo
: como
é raiz simples da homogênea, usamos o ansatz
Escrevendo
, temos
de onde
Como
segue
Comparando coeficientes do polinômio em
:
resulta
Portanto
Passo 5
Para o termo constante
, tomamos ansatz
. Substituindo na eq.
Logo
Passo 6
Juntando tudo, a solução geral é