Questão 1 - Identifique as curvas em \mathbb{R}^{2} derivadas de seções cônicas.
x^{2}-6 x+y^{2}-10 y=36.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação \,x^{2} - 6x + y^{2} - 10y = 36\,
em \mathbb{R}^2 e pede para identificar a curva resultante, usando seções cônicas e completando quadrados.

Passo 2

Completamos quadrado no termo de x:
x^{2} - 6x = (x - 3)^{2} - 9.

Passo 3

Completamos quadrado no termo de y:
y^{2} - 10y = (y - 5)^{2} - 25.

Passo 4

Substituindo esses resultados na equação original:
(x - 3)^{2} - 9 \;+\;(y - 5)^{2} - 25 \;=\; 36.
Agrupando constantes e isolando os quadrados:
(x - 3)^{2} + (y - 5)^{2} = 36 + 9 + 25 = 70.
Esse é o formato padrão de uma circunferência de centro (3,5) e raio \sqrt{70}.

Resposta

A curva é a circunferência de centro (3,5) e raio \sqrt{70}.

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