Questão 16 - Dados \vec{u}=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right), \vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) e \vec{w}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right), mostre que
\langle\vec{u}, \vec{v} \times \vec{w}\rangle=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} u_{1} & u_{2} & u_{3} \\\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o produto misto de três vetores em \mathbb{R}^3, dado por \langle \vec{u},\,\vec{v}\times\vec{w}\rangle, coincide com o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são \vec{u},\vec{v},\vec{w}. Vamos usar as definições de produto vetorial, produto escalar e expansão de determinante para comprovar essa igualdade.

Passo 2

Pela definição, o produto vetorial \vec{v}\times\vec{w} em coordenadas é
\vec{v}\times\vec{w} = \bigl(v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2},\; v_{3}w_{1}-v_{1}w_{3},\; v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1}\bigr).

Passo 3

O produto escalar de \vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}) com um vetor (a_{1},a_{2},a_{3}) é
\langle \vec{u},(a_{1},a_{2},a_{3})\rangle = u_{1}a_{1}+u_{2}a_{2}+u_{3}a_{3}.

Passo 4

Aplicando essa definição ao vetor \vec{v}\times\vec{w}, obtemos
\langle \vec{u},\,\vec{v}\times\vec{w}\rangle = u_{1}(v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2}) +u_{2}(v_{3}w_{1}-v_{1}w_{3}) +u_{3}(v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1}).

Passo 5

Agora expandimos o determinante da matriz
\begin{pmatrix} u_{1}&u_{2}&u_{3}\\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\ w_{1}&w_{2}&w_{3} \end{pmatrix}
pela primeira linha. Pelo desenvolvimento de Laplace, temos
\det= u_{1}\begin{vmatrix}v_{2}&v_{3}\w_{2}&w_{3}\end{vmatrix} -u_{2}\begin{vmatrix}v_{1}&v_{3}\w_{1}&w_{3}\end{vmatrix} +u_{3}\begin{vmatrix}v_{1}&v_{2}\w_{1}&w_{2}\end{vmatrix}.
Calculando os menores:
\begin{vmatrix}v_{2}&v_{3}\w_{2}&w_{3}\end{vmatrix} =v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2},\quad \begin{vmatrix}v_{1}&v_{3}\w_{1}&w_{3}\end{vmatrix} =v_{1}w_{3}-v_{3}w_{1},\quad \begin{vmatrix}v_{1}&v_{2}\w_{1}&w_{2}\end{vmatrix} =v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1}.
Substituindo e observando que
-u_{2}(v_{1}w_{3}-v_{3}w_{1}) = u_{2}(v_{3}w_{1}-v_{1}w_{3}),
vemos que a expansão do determinante coincide exatamente com a expressão do produto escalar do passo anterior.

Passo 6

Concluímos, portanto, que
\langle \vec{u},\,\vec{v}\times\vec{w}\rangle =\det\begin{pmatrix} u_{1}&u_{2}&u_{3}\\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\ w_{1}&w_{2}&w_{3} \end{pmatrix}.

Resposta

\langle\vec{u}, \vec{v}\times \vec{w}\rangle =\det\begin{pmatrix} u_{1}&u_{2}&u_{3}\\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\ w_{1}&w_{2}&w_{3} \end{pmatrix}.

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