Determine a solução geral da E.D.O. y^(5)+y^prime prime prime=e^3 t.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de quinta ordem não homogênea y^(5)+y'''=e^3t. O conteúdo aqui é EDO linear com coeficientes constantes e termo fonte exponencial. Vamos precisar da equação característica para a parte homogênea e do método dos coeficientes a determinar para a parte particular.

Passo 2

Para resolver a parte homogênea, montamos a equação característica substituindo ysim e^rt:
r^5 + r^3 = 0
Isso se fatoriza como r^3(r^2+1)=0. As raízes são r=0 com multiplicidade 3 e r=pm i simples. Logo a solução homogênea é combinação linear de:
1, t, t^2, cos t, sin t
Assim
yh(t)=C1+C2t+C3t^2+C4cos t+C5sin t

Passo 3

Para a parte particular, o termo não homogêneo é e^3t. Como 3 não é raiz da característica, assumimos
yp(t)=Ae^3t Derivando e substituindo na EDO:
yp^(5)=3^5Ae^3t=243Ae^3t,
yp'''=3^3Ae^3t=27Ae^3t
Somando:
yp^(5)+yp'''=(243+27)Ae^3t=270Ae^3t
Isso deve ser igual a e^3t, então
270A=1
e portanto A=1/270.

Passo 4

A solução geral é a soma das partes homogênea e particular. Não esquecendo das constantes arbitrárias, temos:

Resposta

y(t)=C1+C2t+C3t^2+C4cos t+C5sin t+1270e^3t

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