Determine a solução geral da E.D.O.
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de quinta ordem não homogênea
. O conteúdo aqui é EDO linear com coeficientes constantes e termo fonte exponencial. Vamos precisar da equação característica para a parte homogênea e do método dos coeficientes a determinar para a parte particular.
Passo 2
Para resolver a parte homogênea, montamos a equação característica substituindo
:
Isso se fatoriza como
. As raízes são
com multiplicidade 3 e
simples. Logo a solução homogênea é combinação linear de:
Assim
Passo 3
Para a parte particular, o termo não homogêneo é
. Como
não é raiz da característica, assumimos
Somando:
Isso deve ser igual a
, então
e portanto
.
Passo 4
A solução geral é a soma das partes homogênea e particular. Não esquecendo das constantes arbitrárias, temos: