Mostre que uma condição necessária e suficiente para que |a| e |b| é que |a+b2|+|a-b2|, onde, a, b e c são números reais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a condição “ |a| e |b|” é equivalente à desigualdade
|a+b2| + |a-b2| < c
Aqui o conteúdo principal é manipular valores absolutos e usar uma identidade que relaciona soma de absolutos com o máximo entre dois números.

Passo 2

Vamos calcular
|a+b2| + |a-b2| = 12l(|a+b| + |a-b|r)
Mostramos agora que para quaisquer reais a e b
|a+b| + |a-b| = 2maxl(|a|,|b|r)
De fato, suponha primeiro que |a|>=|b|. Se a e b têm o mesmo sinal, então
|a+b| = |a|+|b|, |a-b| = ||a|-|b|| = |a|-|b|,
logo a soma é (|a|+|b|)+( |a|-|b|)=2|a|=2max(|a|,|b|). Se forem de sinais opostos, trocamos qual soma vira diferença, mas o resultado continua 2|a|. Analogamente, se |b|>=|a| obtemos 2|b|. Assim
12(|a+b| + |a-b|) = max(|a|,|b|)

Passo 3

Da igualdade acima segue diretamente que
|a+b2| + |a-b2| = max(|a|,|b|)
E, por definição de máximo, temos
max(|a|,|b|)
Portanto as duas condições são equivalentes.

Resposta

Como
|tfraca+b2|+|tfraca-b2|=maxl(|a|,|b|r),
é imediato que isto é menor que c se, e somente se, |a| e |b|.

Exercícios relacionados