Prove que para todo
, existe pelo menos um natural
tal que
.
Passo 1
Então, você tem um exercício que diz: “Prove que para todo $ x > 0 $, existe pelo menos um número natural $ n $ tal que $ \frac{1}{n} < x $”. Estamos lidando com conceitos de matemática, mais especificamente da área de análise matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como os números naturais se comportam e como a sequência $ \frac{1}{n} $ se comporta conforme $ n $ aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar sobre o que acontece com $ \frac{1}{n} $ quando $ n $ cresce. Sabemos que à medida que $ n $ aumenta, $ \frac{1}{n} $ diminui. Por exemplo, se $ n = 1 $, então $ \frac{1}{1} = 1 $; se $ n = 2 $, $ \frac{1}{2} = 0,5 $; se $ n = 10 $, $ \frac{1}{10} = 0,1 $, e assim por diante. Isso significa que $ \frac{1}{n} $ fica cada vez menor conforme $ n $ aumenta.
Passo 3
Agora, queremos que $ \frac{1}{n} $ seja menor que um certo $ x > 0 $. Ou seja, queremos encontrar um $ n $ tal que $ \frac{1}{n} < x $. Como $ \frac{1}{n} $ fica menor à medida que $ n $ aumenta, precisamos escolher um $ n $ suficientemente grande para que essa condição seja satisfeita.
Passo 4
Para achar esse $ n $, podemos considerar a desigualdade $ \frac{1}{n} < x $. Se rearranjarmos essa desigualdade, multiplicando ambos os lados por $ n $ (que é positivo), temos $ 1 < n \cdot x $. Agora, dividindo ambos os lados por $ x $, obtemos $ \frac{1}{x} < n $. Isso significa que $ n $ precisa ser maior que $ \frac{1}{x} $.
Passo 5
Como $ n $ é um número natural, basta escolher $ n $ como o menor número inteiro maior que $ \frac{1}{x} $. Isso sempre é possível porque os números naturais são infinitamente grandes, então sempre existe um $ n $ suficientemente grande para satisfazer $ n > \frac{1}{x} $, garantindo que $ \frac{1}{n} < x $.
Resposta
Portanto, para todo $ x > 0 $, existe pelo menos um número natural $ n $ tal que $ \frac{1}{n} < x $.