Determine a solução geral da E.D.O. y^prime prime-3 y^prime+2 y=g(t), onde g é uma função contínua em R.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea y''-3y'+2y=g(t), em que g(t) é contínua em R. O conteúdo aqui é o estudo de equações lineares de coeficientes constantes, e vamos precisar: 1) resolver a equação homogênea associada usando a equação característica, 2) aplicar o princípio da superposição e 3) obter uma solução particular via variação de constantes (ou função de Green).

Passo 2

Começamos resolvendo a parte homogênea. A equação característica é
r^2-3r+2=0
que fatoriza em
(r-1)(r-2)=0
daí as raízes r1=1 e r2=2. Assim a solução geral da homogênea é
yh(t)=C1e^t+C2e^2t,onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para encontrar a solução particular yp(t) de y''-3y'+2y=g(t), usamos o método de variação de constantes. Tomamos as soluções fundamentais y1=e^t e y2=e^2t, cuja Wronskiana é
W(t)=e^t & e^2t e^t & 2e^2t=e^3t
As fórmulas para as derivadas dos coeficientes variáveis são
u1'(t)=-y2(t),g(t)W(t), u2'(t)=y1(t),g(t)W(t)

Passo 4

Substituindo y1, y2 e W obtemos
u1'(t)=-e^2t,g(t)e^3t=-e^-tg(t), u2'(t)=e^t,g(t)e^3t=e^-2tg(t)

Passo 5

Integrando (usando um ponto base t0 arbitrário)
u1(t)=-integralt0^t e^-sg(s),ds, u2(t)=integralt0^t e^-2sg(s),ds
Então a solução particular é
yp(t)=u1(t)e^t+u2(t)e^2t=-e^tintegralt0^t e^-sg(s)ds+e^2tintegralt0^t e^-2sg(s)ds

Passo 6

Fatorando, isso vira uma convolução com o núcleo fundamental:
yp(t)=integralt0^tl(e^2(t-s)-e^(t-s)r),g(s),ds

Resposta

A solução geral é
y(t)=C1e^t+C2e^2t+integralt0^tl(e^2(t-s)-e^(t-s)r)g(s),ds,
onde C1,C2 são constantes arbitrárias e t0 é um ponto base para a integral.

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