Determine a solução geral da E.D.O. , onde é uma função contínua em .
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea , em que é contínua em . O conteúdo aqui é o estudo de equações lineares de coeficientes constantes, e vamos precisar: 1) resolver a equação homogênea associada usando a equação característica, 2) aplicar o princípio da superposição e 3) obter uma solução particular via variação de constantes (ou função de Green).
Passo 2
Começamos resolvendo a parte homogênea. A equação característica é
que fatoriza em
daí as raízes e . Assim a solução geral da homogênea é
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para encontrar a solução particular de , usamos o método de variação de constantes. Tomamos as soluções fundamentais e , cuja Wronskiana é
As fórmulas para as derivadas dos coeficientes variáveis são u1'(t)=-y2(t),g(t)W(t), u2'(t)=y1(t),g(t)W(t)
u1(t)=-integralt0^t e^-sg(s),ds, u2(t)=integralt0^t e^-2sg(s),ds
Então a solução particular é yp(t)=u1(t)e^t+u2(t)e^2t=-e^tintegralt0^t e^-sg(s)ds+e^2tintegralt0^t e^-2sg(s)ds
Passo 6
Fatorando, isso vira uma convolução com o núcleo fundamental: