Mostre que se
e
são conjuntos não vazios, então
-
implica
-
implica
- se
e
então
- se
então
- Use as propriedades acima para mostrar que dados
e definindo
vale
.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo: Temos dois conjuntos não vazios A e B em ℝ e queremos relacionar suas cotas superiores e inferiores (supremo e ínfimo). Vamos usar as definições: sup(A) é a menor cota superior de A e inf(B) é a maior cota inferior de B.
Passo 2
Prova de (1): Suponha que ∀a∈A e ∀b∈B vale a<b. Isso significa que todo b∈B é uma cota superior de A. Como sup(A) é a menor das cotas superiores, temos
para todo
. Por outro lado, inf(B) é o maior número que é cota inferior de B, então ele é menor ou igual a qualquer cota superior de A. Concluímos
.
Passo 3
Prova de (2): Se agora só temos ∀a∈A e ∀b∈B vale a\le b, o raciocínio é idêntico: todo
é cota superior de A, logo
para todo
, e portanto
.
Passo 4
Prova de (3): Suponha
e que para todo
existe
e
com
. Defina
. Da hipótese de aproximação vem
para todo
. A única forma de
satisfazer
para todo
é
. Logo
.
Passo 5
Prova de (4): Suponha
. Pelo caráter de supremum existe para todo
um
tal que
. E pelo caráter de ínfimo existe um
com
. Então
Passo 6
Prova de (5): Defina
Qualquer
satisfaz
e todo
satisfaz
logo
para todo
. Por (1) vem
.
Dado , use a densidade de ℚ para escolher
e
com
,
tais que
, definindo
. Escolha também
,
com
,
e defina
. Então
Dado
Pelos itens (3) e (4) concluímos finalmente que
.