Mostre que se A e B são conjuntos não vazios, então
  1. a implica sup (A) <= inf (B)
  2. a <= b forall a in A, b in B implica sup (A) <= inf (B)
  3. se sup (A) <= inf (B) e forall varepsilon>0 exists a in A, b in B: b-a então sup (A)=inf (B)
  4. se sup (A)=inf (B) então forall varepsilon>0 exists a in A, b in B: b-a
  5. Use as propriedades acima para mostrar que dados x, y in R e definindo
A=r+s: r, s in Q, rx, s>y
vale sup (A)=inf (B).

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: Temos dois conjuntos não vazios A e B em ℝ e queremos relacionar suas cotas superiores e inferiores (supremo e ínfimo). Vamos usar as definições: sup(A) é a menor cota superior de A e inf(B) é a maior cota inferior de B.

Passo 2

Prova de (1): Suponha que ∀a∈A e ∀b∈B vale a<b. Isso significa que todo b∈B é uma cota superior de A. Como sup(A) é a menor das cotas superiores, temos sup(A)<= b para todo bin B. Por outro lado, inf(B) é o maior número que é cota inferior de B, então ele é menor ou igual a qualquer cota superior de A. Concluímos sup(A)<=inf(B).

Passo 3

Prova de (2): Se agora só temos ∀a∈A e ∀b∈B vale a\le b, o raciocínio é idêntico: todo bin B é cota superior de A, logo sup(A)<= b para todo bin B, e portanto sup(A)<=inf(B).

Passo 4

Prova de (3): Suponha sup(A)<=inf(B) e que para todo varepsilon>0 existe ain A e bin B com b-a. Defina de=0. Da hipótese de aproximação vem de para todo varepsilon>0. A única forma de de satisfazer de para todo varepsilon>0 é de. Logo sup(A)=inf(B).

Passo 5

Prova de (4): Suponha sup(A)=inf(B)=L. Pelo caráter de supremum existe para todo varepsilon>0 um ain A tal que L-a. E pelo caráter de ínfimo existe um bin B com b-L. Então
b-a=(b-L)+(L-a)

Passo 6

Prova de (5): Defina
A=r+s: r,sinQ,;r
B=r+s: r,sinQ,;r>x,;s>y
Qualquer ain A satisfaz
a=r+s
e todo bin B satisfaz
b=r'+s'>x+y,
logo a para todo ain A,bin B. Por (1) vem sup(A)<=inf(B).
Dado varepsilon>0, use a densidade de ℚ para escolher r e s com x-r, y-s tais que 2(alpha+beta), definindo a=r+sin A. Escolha também r'>x, s'>y com r'-x, s'-y e defina b=r'+s'in B. Então
b-a=(r'-r)+(s'-s)
Pelos itens (3) e (4) concluímos finalmente que
sup(A)=inf(B).

Resposta

sup(A)=inf(B)

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