Determine a solução geral.
ddotx-2 dotx=5

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem com coeficientes constantes
ddotx-2dotx=5
Conteúdo: equação linear não-homogênea de 2ª ordem. Vamos usar o método de superposição: achar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, zera-se o termo não-homogêneo e monta-se a equação característica:
r^2-2r=0
Resolvendo, temos as raízes r=0 e r=2. Logo, a solução homogênea é
xh(t)=C1e^0,t+C2e^2t=C1+C2e^2t

Passo 3

Para a solução particular, observamos que o termo não-homogêneo é constante (5). Como uma constante não funciona, tentamos um polinômio de grau 1: xp(t)=At. Então
dotxp=A,
ddotxp=0
Substituindo na EDO:
0-2A=5implies A=-tfrac52
Logo,
xp(t)=-tfrac52t

Passo 4

Pela superposição, a solução geral é a soma da homogênea com a particular:

Resposta

x(t)=C_1+C_2e^{2t}-\frac{5}{2}t

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