Determine a solução geral.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equação linear não-homogênea de 2ª ordem. Vamos usar o método de superposição: achar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular.
Passo 2
Para a parte homogênea, zera-se o termo não-homogêneo e monta-se a equação característica:
Resolvendo, temos as raízes
e
. Logo, a solução homogênea é
Passo 3
Para a solução particular, observamos que o termo não-homogêneo é constante (5). Como uma constante não funciona, tentamos um polinômio de grau 1:
. Então
Substituindo na EDO:
Logo,
Passo 4
Pela superposição, a solução geral é a soma da homogênea com a particular:
Resposta
x(t)=C_1+C_2e^{2t}-\frac{5}{2}t