Determine a solução geral.
ddotx-2 dotx=e^2 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO ddotx-2dotx=e^2t. O conteúdo envolvido é equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Para resolver, vamos achar a solução complementar (homogênea) e depois uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos ddotx-2dotx=0. Formamos a equação característica
r^2-2r=0Rightarrow r=0,2
Portanto a solução complementar é
xc(t)=C1+C2e^2t

Passo 3

Agora, buscamos uma solução particular. Como o termo forçante é e^2t e e^2t já aparece em xc, multiplicamos a proposta por t. Assim, fazemos
xp(t)=Ate^2t
Calculamos as derivadas:
xp'(t)=Ae^2t+2Ate^2t, xp''(t)=4Ae^2t+4Ate^2t
Substituindo em ddotx-2dotx, temos
xp''-2xp'=(4Ae^2t+4Ate^2t)-2(Ae^2t+2Ate^2t)=2Ae^2t
Igualando a e^2t 2Ae^2t=e^2t, então A=tfrac12.

Passo 4

Por fim, somamos as soluções complementar e particular para obter a solução geral:
x(t)=xc(t)+xp(t)=C1+C2e^2t+12te^2t

Resposta

x(t)=C1+C2e^2t+tfrac12te^2t

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