Determine a solução do problema
ddotx+4 x=cos 2 t, x(0)=0 e dotx(0)=0.

Passo 1

Temos a EDO ddotx+4x=cos2t com condições iniciais x(0)=0 e dotx(0)=0. É um problema de equações diferenciais lineares de 2ª ordem com forçamento senoidal, e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados levando em conta possível ressonância.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz ddotxh+4xh=0. A equação característica é
r^2+4=0, r=pm 2i
Logo
xh(t)=C1cos2t+C2sin2t

Passo 3

Como o termo forçante cos2t tem a mesma frequência da solução homogênea, há ressonância. Então tentamos uma solução particular do tipo
xp(t)=tl(Acos2t+Bsin2tr)

Passo 4

Derivando e substituindo em ddotx+4x=cos2t obtém-se
xp''+4xp=-4Asin2t+4Bcos2t
Isto deve igualar cos2t, logo
4B=1, -4A=0implies B=tfrac14, A=0
Assim
xp(t)= t4sin2t

Passo 5

A solução geral é
x(t)=C1cos2t+C2sin2t+ t4sin2t
Usando x(0)=0 C1=0. Calculando dot x(t) e impondo dot x(0)=0 resulta em C2=0.

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
x(t)= t4sin(2t)

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