Determine a solução geral.
ddotx+4 dotx+3 x=8 e^2 t

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação diferencial de segunda ordem linear com coeficientes constantes ddotx+4dotx+3x=8e^2t. O conteúdo é EDO lineares e vamos usar a equação característica para achar a solução homogênea e o método dos coeficientes indeterminados para a solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, assumimos uma solução do tipo xh(t)=e^mt. Substituindo em ddotx+4dotx+3x=0 obtemos a equação característica
m^2+4m+3=0
Suas raízes são m=-1 e m=-3, logo
xh(t)=C1e^-t+C2e^-3t

Passo 3

Para a solução particular, como o termo forçante é 8e^2t, propomos xp(t)=Ae^2t. Calculamos
dotxp=2A e^2t,
ddotxp=4A e^2t
Substituindo na EDO original:
4A e^2t+4(2A e^2t)+3A e^2t=(4A+8A+3A)e^2t=15A e^2t
Para igualar a 8e^2t precisamos de 15A=8, assim A=8/15. Portanto
xp(t)=815e^2t

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular, ou seja,
x(t)=xh(t)+xp(t)=C1e^-t+C2e^-3t+815e^2t

Resposta

x(t)=C_1e{-t}+C_2e{-3t}+\tfrac{8}{15}e^{2t}

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