Determine a solução geral e descreva o comportamento das curvas solução dos seguintes problemas diferenciais:
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO linear de primeira ordem
que pertence ao conteúdo de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos usar o fator integrante e a ideia de separar a parte homogênea da particular.
Passo 2
Calculamos o fator integrante
, que satisfaz
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
:
O lado esquerdo é agora a derivada do produto
:
Integramos em
:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Isolando
, obtemos a solução geral
Passo 5
Para o comportamento das curvas solução, note que a reta
é solução constante (equilíbrio). As outras soluções são exponenciais deslocadas:
- Se
, quando . - Se
, quando . - Para
, todas as soluções tendem a , pois .
Resposta
A solução geral é
e as curvas solução são exponenciais que se afastam de
conforme
cresce, aproximando-se de
quando
.